18.21 Графика. Нахождение касательной к графику

Вопрос можно переформулировать следующим образом: неравенство

должно выполняться при всех из ОДЗ (а ОДЗ: ).
Перепишем неравенство в виде и рассмотрим функции и . Тогда для того, чтобы неравенство было выполнено при всех , нужно, чтобы прямая находилась ниже графика функции .
 

 

1) Рассмотрим случай, когда . Пусть прямая касается правой ветви параболы (при ).
 
. Следовательно, если они касаются в точке с абсциссой , то

Из этих двух уравнений находим, учитывая , что .
Следовательно, при имеем .
Тогда при всех прямая будет находиться ниже графика , следовательно, для всех будет выполнено неравенство .

 

2) Рассмотрим случай, когда . Тогда прямая параллельна оси абсцисс и находится ниже графика при всех . Следовательно, это значение нам подходит.

 

3) Рассмотрим случай, когда . Пусть прямая касается левой ветви параболы (при ).
 
. Следовательно, если они касаются в точке с абсциссой , то

Из этих двух уравнений находим, учитывая , что . Отсюда находим, что .
 
Следовательно, при всех прямая будет находиться ниже графика и неравенство будет выполнено при всех .
 
Итого заключаем, что нам подходят значения:

 

Прямые должны находиться в зеленой области.