Тема . Делимость и делители (множители)

Условия про НОД и НОК

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела делимость и делители (множители)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#34156

Можно ли вместо звездочек вставить в выражение

НОК (∗,∗,∗)− НОК (∗,∗,∗)= 2009

в некотором порядке шесть последовательных натуральных чисел так, чтобы равенство стало верным?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Среди шести последовательных чисел ровно три четных и три нечетных. Могут ли четные числа оказаться в разных НОКах?

Подсказка 2

Верно, не могут! Тогда оба нока четны, и их разность не равна 2009. Тогда все четные числа в одном НОКе, а в другом — нечетные. А можно ли теперь применить делимость не на 2, а на какое-то другое небольшое число?

Подсказка 3

Верно! Делимость на 3 нам поможет: среди трех последовательных четных чисел есть делящееся на 3. А верно ли аналогичное утверждение о трех последовательных нечетных?

Показать ответ и решение

Предположим, что можно. Среди 6  последовательных чисел ровно 3  четных. Тогда если четные числа есть и в первом НОКе, и во втором, то оба НОКа четные и их разность тоже четная (явно не 2009).  Значит, в одном НОКе все три четных числа, а в другом — все три нечетные.

Заметим, что среди трех четных последовательных чисел обязательно есть число, кратное 3  (так как все три числа дают разные остатки при делении на 3).  Аналогично, среди нечетных есть число, кратное 3.  Тогда оба НОКа кратны 3  и их разность также кратна 3.  Противоречие, так как 2009  не кратно трем. Значит, наше предположение неверно.

Ответ:

Нет, нельзя

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!