Условия про НОД и НОК
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существуют ли натуральные 
и 
для которых выполняется равенство
Подсказка 1
Попробуем пойти от противного. Тогда, если такое равенство верно для чисел a, b и c, то оно верно и для чисел a/d, b/d, c/d, где d = НОД(a,b,c). Тогда можно полагать, что НОД(a,b,c) = 1. В задаче должно выполняться равенство НОК(a,b) = НОК(a+c,b+c). Что можно сказать о НОДе a+c и b+c?
Подсказка 2
Верно! Если такое равенство выполняется, то мы получаем, что НОК(a+c,b+c) ≤ ab < (a+c)(b+c), поэтому d = НОД(a+c,b+c) > 1. А можно ли доказать, что a или b имеют общие простые делители с d?
Подсказка 3
Можно! Пусть m = НОК(a+c,b+c) = НОК(a,b). Тогда m | ab. Кроме того, d | m. Тогда d | ab, а потому какое-то из чисел a и b не взаимно просто с d. Не умаляя общности, можно считать, что НОД(a,d) = k > 1. Можно ли доказать, что тогда b и c не взаимно просты с k?
Подсказка 4
Конечно! Ведь c = (c + a) - a. Правая часть делится на k, поэтому правая тоже делится. Аналогично доказывается, что b делится на k. В чем противоречие?
Предположим противное. Можно считать, что 
иначе можно сократить все числа на этот НОД, и равенство останется
верным. Пусть 
и 
Так как
поэтому 
Поскольку 
и 
то 
Тогда 
или 
Без ограничения общности будем считать, что
Таким образом, 
и 
делятся на 
Выходит, что все три числа 
делятся на 
При
этом 
— противоречие.
Нет, не существуют
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
