Остатки и делимость по модулю степеней тройки

Произведение чисел от до делится на . Поэтому мы можем применить признак равноостаточности при делении на . Посчитаем сумму цифр числа без звездочки. Она равна . Прибавив к этой сумме цифру, которая была на месте звездочки, мы должны получить сумму, которая делится на : только тогда всё число будет делиться на .

Этого можно добиться, только прибавив цифру : ближайшее число, большее , делящееся на , — , и как раз его мы и получим. А суммы больше получить нельзя, так как мы прибавляем цифру, и ее значение меньше . Значит, на месте звездочки находилась цифра .