Остатки и делимость по модулю степеней тройки

Обозначим сумму цифр исходного числа через . Сразу отметим, что после перестановки эта сумма цифр не изменилась. При этом, так как исходное число уменьшилось в раза, то оно делилось на . Тогда и его сумма цифр делилась на . Итак, делится на .

Далее, после того, как число поделили на , его сумма цифр по прежнему равна , то есть делится на . Значит, после того, как число поделили на , оно всё еще делится на . Это означает, что исходное число делилось на . Тогда и сумма цифр исходного числа делилась на . Итак, делится на .

Наконец, после уменьшения числа в раза сумма цифр числа осталась прежней, значит, эта сумма цифр всё еще делится на . Тогда и всё число по прежнему делится на . Поэтому до уменьшения в раза оно делилось на , что и требовалось доказать.

Замечание. Приводить пример таких чисел, конечно, не требуется, но сказанное в условии вполне возможно: например, .