Тема Многочлены

Теорема Виета для многочленов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела многочлены

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82696

Докажите, что если действительные числа $a$ , $b$ , $c$ удовлетворяют условию

1 1 1 ---1--- a + b + c = a +b+ c

то сумма каких-то двух из них равна нулю.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Приведем левую дробь к общему знаменателю:

1 1 1 bc+ ac +ab a + b + c =--abc---

Теперь по правилу пропорции имеем равенство:

(a +b+ c)(bc +ac+ ab)= abc

Раскрываем в левой части скобки, получаем:

abc+a2c+ a2b+ b2c +abc+b2a+ c2b+ c2a +abc= abc

В левой и правой части $abc$ взаимно уничтожится, тогду получится уравнение:

2 2 2 2 2 2 ac+ a b+b c+b a+ cb+ ca +2abc= 0

Заметим, что левая часть равна $(a+b)(b+ c)(a+ c).$ Тогда получаем равенство

(a+b)(b+ c)(a+ c) =0

Из которого напрямую следует, что сумма каких-то двух из наших чисел равна нулю.

Второе решение.

Рассмотрим многочлен, корнями которого являются данные числа

P (x)= (x− a)(x− b)(x − c)

Пусть при раскрытии скобок мы получаем

P (x)= x3+ px2 +qx+ r

Тогда по теореме Виета

( |{ a +b+ c= −p |( ab+ bc+ca= q abc= −r

Из условия после приведения к общему знаменателю получаем

(a +b+ c)(ab+bc+ ca)= abc

то есть

−pq = −r

Тогда $P (x)$ можно представить в виде

x3+ px2 +qx+ pq = x2(x+ p)+q(x+ p) =(x2+ q)(x+p)

Так как мы знаем про наличие трёх корней $a,b,c,$ то $q < 0$ и $2 x + q = (x − t)(x+ t),$ где $√--- t= −q.$

Не умаляя общности, $a= t,b =−t,c= −p.$ В итоге $b= −a,$ поэтому требуемое верно.

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#86093

Известно, что числа $a,b,c,ab + ac + bc c b a$ — целые. Обязательно ли являются целыми все три числа

abac bc c , b ,a ?

Источники: Бельчонок - 2024, 11.2 (см. dovuz.sfu-kras.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для доказательства этого воспользуемся неочевидным инструментом - симметрическими многочленами. Логика в том, что наши выражения точно рациональны, и при этом, мы знаем такой факт, что если некоторый многочлен с целыми коэффициентами имеет корень p/q (в несократимой записи), то старший коэффициент делится на q. Значит, в идеале, нам хотелось бы придумать многочлен, с целыми коэффициентами, корнями, равным нашим выражениям. Какое условие мы забыли, с учетом леммы выше?

Подсказка 2

Мы забыли условие на то, что у нас свободный член должен быть равен 1, если мы хотим целые корни нашему уравнению, ведь тогда знаменатель q = 1. Ну а какое самое простое уравнение с нашими выражениями в виде корней мы знаем? Верно, просто кубический многочлен с такими корнями. Остается проверить, что он имеет целый коэффициенты.

Подсказка 3

Коэффициенты нашего многочлена будут -(ab / c + bc / a + ca / b), (a^2 + b^2 + c^2), -abc. И да, эти коэффициенты целые, а также старший коэффициент равен 1, а значит, наши выражения — целые.

Показать ответ и решение

Рассмотрим числа $ab,ac,bc c b a$ . По условию их сумма целая, их произведение равно $abc$ — целое, сумма их попарных произведений равна $2 2 2 a + b +c$ — целая. Значит, мы можем составить приведённый многочлен с целыми коэффициентами и корнями $ab ac bc -c ,-b ,a$ :

ab ac bc ab bc ac P(x)=x3− (c-+ b-+ a)x2+ (a2+ b2+c2)x− abc= (x− c )(x− a)(x− b-)

Осталось заметить, что корни рациональны как отношения целых чисел. Если целочисленный многочлен имеет рациональный корень $pq,(p,q)=1$ , то его старший коэффициент делится на $q$ . Поскольку наш многочлен приведённый, корни являются целыми.

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#88065

Известно, что система уравнений

{ 3x2+ 6y2 − x− y = 6 −3y2+ 6xy− x +2y = 2

имеет ровно четыре решения $(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)$ . Найдите сумму

x + y +x + y +x +y + x +y 1 1 2 2 3 3 4 4

Ответ округлите до десятых.

Источники: Межвед - 2024, 11.4 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Непонятно как искать эти решения, поэтому посмотрим под другим углом на то, что требуется найти. Пусть мы ищем сумму x и сумму y. На что тогда это похоже?

Подсказка 2

Это же теорема Виета для уравнения 4 степени! Тогда нужно из системы выразить уравнение 4 степени для x и y.

Подсказка 3

Из второго уравнения легко выражается x, который можно подставить в первое и получить уравнение 4 степени для y.

Подсказка 4

Сумму для y нашли, а как же найти сумму для x? Нам мешает y^2 в обоих уравнениях. Тогда путем умножения на константу и сложения избавимся от y^2. Тогда остается выразить y через x, подставить y и получить уравнение 4 степени для x.

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы

2 −3y +6xy− x+ 2y = 2

2 (6y− 1)x =3y − 2y+ 2

Заметим, что $y = 1 6$ не является решением, тогда

x = 3y2−-2y+-2 6y− 1

Поставим $x$ в первое уравнение системы и преобразуем, получив уравнение 4-ой степени относительно $y$

(3y2− 2y+2 )2 3y2− 2y +2 3 ---6y-− 1- +6y2− --6y−-1-- − y =6

3(3y2 − 2y+ 2)2− (3y2− 2y+ 2)(6y− 1)+ (6y2− y− 6)(6y− 1)2 = 0

(27y4− 36y3+ 48y2− 24y+12)− (18y3− 15y2+ 14y − 2)+ (216y4− 108y3− 198y2+71y− 6)= 0

243y4− 162y3− 135y2+33y+ 8= 0

Заметим, что раз $(x1,y1),$ $(x2,y2),$ $(x3,y3),$ $(x4,y4)$ — решения системы, то $y1,$ $y2,$ $y3,$ $y4$ будут корнями данного уравнения, причём различными, иначе бы какие-то решения системы совпали в силу выражения $x$ через $y.$ Т.к. многочлен 4-ой степени может иметь не более 4 корней, значит, других не будет. Тогда по теореме Виета

162 2 y1+ y2 +y3+ y4 = 243-= 3

Теперь возьмём второе уравнение системы, удвоим его и сложим с первым уравнением, получим

2 3x − 3x +3y+ 12xy =10

(3+ 12x)y = (10+ 3x− 3x2)

Заметим, что $x= − 1 4$ не является решением, тогда

y = 10+-3x-− 3x2 3+ 12x

Подставим $y$ в первое уравнение системы и преобразуем, получив уравнение 4-ой степени теперь относительно $x:$

2 ( 10+ 3x − 3x2)2 10+ 3x − 3x2 3x +6 --3+-12x-- − x− --3+-12x-- =6

6(10+3x − 3x2)2− (10+3x− 3x2)(3+ 12x)+ (3x2− x− 6)(3+ 12x)2 = 0

(54x4− 108x3− 306x2+ 360x+ 600)− (−36x3 +27x2+ 129x+ 30)+

+ (432x4+ 72x3− 909x2− 441x − 54)= 0

486x4− 1242x2− 210x+ 516= 0

Аналогично случаю с $y$ по теореме Виета

x1+x2+ x3+ x4 = 0

В итоге

2 x1+ y1+x2+ y2+ x3+y3+ x4+ y4 = 3 ≈ 0,7

Ответ: 0.7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#89613

Найдите сумму квадратов корней многочлена $x3+ x2− 7x+ 1$ .

Показать ответ и решение

Проверим, что существуют все три корня, для этого посмотрим на значения данного многочлена в точках $− 4,0,1,3$

3 2 (−4) +(−4) − 7⋅(−4)+ 1= −19< 0

3 2 0 + 0 − 7⋅0+ 1= 1> 0

13+ 12− 7⋅1+1 =− 4< 0

33+32− 7⋅3+ 1= 16 >0

Тогда в силу непрерывности многочлена у него будут три корня на интервалах $(− 4;0),(0;1),(1;3).$

Обозначим корни за $x1,x2,x3,$ тогда по теореме Виета для кубического многочлена

( |{ x1+ x2 +x3 = −1 | x1x2 +x1x3+ x2x3 =−7 ( x1x2x3 = −1

Выразим сумму квадратов корней следующим образом

x21+ x22+ x23 =x21 +x22+ x23+ 2(x1x2+x1x3+ x2x3)− 2(x1x2+ x1x3+ x2x3)=

= (x1+ x2+ x3)2− 2(x1x2+ x1x3+ x2x3)

Подставив известные значения, получим

2 2 2 2 x1+ x2+ x3 =(−1) − 2⋅(−7)= 15

Ответ:

$15$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#89614

Многочлен $x4+ ax3 +2x2+ 3x +4$ имеет корень, равный 1. Найдите сумму кубов остальных его корней.

Показать ответ и решение

Пусть $P(x)= x4+ ax3+ 2x2+ 3x +4.$ Из условия следует, что $P(1)= 0.$ Запишем это равенство по-другому.

4 3 2 P(1)=1 + a⋅1 + 2⋅1+ 3⋅1+ 4= a+ 10 =⇒ a+ 10= 0 =⇒ a =−10

Так как $x0 = 1$ корень $P(x),$ разложим его.

3 2 P(x)= (x − 1)(x − 9x − 7x − 4)

Для второго множителя запишем теорему Виета.

(|{ x1+ x2 +x3 = 9 x1x2 +x1x3+ x2x3 =−7 |( x1x2x3 = 4

С помощью вышенаписанных выражений запишем $x31+ x32+x33.$

(x1+ x2+ x3)3 = x31+ x32 +x33+ 3x21x2 +3x21x3+3x22x1+ 3x22x3+ 3x33x1+ 3x23x2 +6x1x2x3 =⇒

x31 +x32+ x33 = (x1 +x2+ x3)3− 3(x1+ x2+ x3)(x1x2+ x1x3+x2x3)+3(x1x2x3)=

x31+x32+ x33 = 93− 3⋅9⋅(−7)+ 3⋅4= 930

Ответ: 930

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#89615

Докажите, что сумма кубов трех корней уравнения $x3 +px+ q = 0$ с целыми коэффициентами есть целое число, делящееся на $3$ .

Показать ответ и решение

По теореме Виета для кубического уравнения имеем:

(| x + x +x = −1 { x1x 2+x x3+ xx =−7 |( 12 1 3 23 x1x2x3 = −1

Выразим $x2+x2 +x2 1 2 3$ через вышенаписанные выражения.

2 2 2 2 x1+ x2+ x3 =(x1+ x2+x3) − 2(x1x2+x1x3+ x2x3)

Подставляя значения, получаем:

x2+ x2+ x2=(−1)2− 2⋅(−7)= 15 1 2 3

Проверим, что существует все $3$ корня. Рассмотрим $f(x)= x3+ x2− 7x +1,$ а также $f(−10), f(0), f(1), f(10).$

(a) $f(− 10)= −19,$ то есть график $f(x)$ находиться ниже $Ox.$

(b) $f(0)= 1,$ то есть график $f(x)$ находиться выше $Ox.$ Это значит, что график пересек $Ox$ и один корень имеется.

(d) $f(10)= 41,$ то есть график $f(x)$ находиться выше $Ox.$ Это значит, что график пересек $Ox$ и третий корень имеется.

Ответ: 15

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#89616

Пусть $a$ , $b$ и $c$ — вещественные числа. Известно, что $abc= 1$ , $a+ b+c = 1+ 1+ 1 a b c$ . Докажите, что одно из чисел равно 1.

Показать доказательство

Подставим $abc$ вместо $1$ во второе условие и получим следующее:

a+ b+ c=ab+ ac+ bc

Рассмотрим $P(x)= (x− a)(x− b)(x− c)=x3+ nx2+ kx+ l.$ Если у этого многочлена будет корень $1,$ то одно из чисел $a,b,c$ будет равняться $1.$ Запишем теорему Виета для $P(x):$

(|{ l= −abc=− 1 k= ab+ ac+bc |( n =− (a+ b+ c)

Учитывая, что $a+ b+ c=ab+ ac+ bc,$ получаем следующее:

P(x)= x3 − kx2+ kx− 1= (x− 1)(x2+ x− k+ 1)

Таким образом, доказали, что есть корень $1,$ следовательно, одно из чисел $a,b,c$ равняется $1.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#89617

Известно, что целые числа $a$ , $b$ , $c$ удовлетворяют равенству $a +b+ c= 0$ . Докажите, что $2a4+ 2b4+ 2c4$ — квадрат целого числа.

Показать доказательство

Требуется доказать, что $2(a4+ b4+c4)= t2.$ Рассмотрим $P(x)= (x− a)(x− b)(x− c)= x3+ tx2+ kx− n.$ Запишем теорему Виета для $P (x):$

( t= −(a +b+ c)=0 |{ |( k= ab+ac+ bc abc =n

Запишем через данные многочлены $a2+b2+ c2.$

2 2 2 2 a + b +c = (a+b+ c) − 2(ab +ac+ bc)= −2k

a2 +b2+ c2 =− 2k

Выразим $a4+b4+ c4 :$

a4+b4+ c4 = (a2+ b2 +c2)2 − 2(a2b2+ a2c2+ b2c2)= (−2k)2− 2(ab+ ac+ bc)2+ 4abc(a+b+ c)= 4k2− 2k2 = 2k2

Тогда получили, что $2(a4+ b4 +c4)=2 ⋅2k2 = (2k)2,$ что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92366

Многочлен $f(x)= x4− 12x3 +ax2+ bx +81$ с действительными $a$ и $b$ допускает разложение

f(x)=(x− c1)(x− c2)(x− c3)(x− c4)

с некоторыми положительными $c1,c2,c3,c4$ . Найдите все возможные значения $f(5)$ .

Показать ответ и решение

Замечание. В оригинальном условии на экзамене была опечатка, которая делала задачу некорректной. Решение приведено для нового условия, которое дано на сайте.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

По обобщенной теореме Виета получаем $c1+ c2 +c3+ c4 =12$ и $c1c2c3c4 = 81.$ Тогда получаем, что

c1 +c2+ c3+ c4 √ ------ -----4------= 4 c1c2c3c4

По неравенству о средних мы знаем, что равенство в таком неравенстве достигается только при $c1 = c2 =c3 = c4 = 124-= 3.$ Тогда получаем

f(5) =(5− 3)4 = 24 = 16.

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#62509

Какие значения может принимать выражение $x2+ x x +x2 1 1 2 2$ , где $x 1$ и $x 2$ — несовпадающие между собой корни уравнения $3 x − 2015x+ 2016 =0?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем подставить корни x₁ и x₂ в наше уравнение, что можно получить из такой подстановки?

Подсказка 2

Да, при их подстановке уравнение равно нулю, поэтому мы можем выразить разность кубов x₁ и x₂, то есть x₁³ - x₂³. А что мы получим у правой части?

Подсказка 3

Да, в правой части мы можем вынести за скобки 2015. Тогда, вспомним формулу разности кубов! Чему равно выражение, которое нас просят найти?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Так как $3 x1− 2015x1+ 2016= 0$ и $3 x2− 2015x2+ 2016= 0$ , то $3 3 x1− x2 =2015⋅(x1 − x2)$ . Значит, $2 2 x1+x1x2+ x2 = 2015$ (делим на $x1− x2 ⁄= 0$ ).

Второе решение.

По теореме Виета (которая не гарантирует существование вещественных корней, но по условию уже сказали про существование двух из них, откуда следует и существование третьего, ведь кубический многочлен может иметь только один или три вещественных корня): $x1+ x2+ x3 =0,x1x2x3 =− 2016$ . Поэтому

2016 x21+ x1x2+x22 =(x1+ x2)2− x1x2 =(−x3)2 +-x3-= x33+2016 2015x3 = --x3---= --x3- = 2015.

Ответ:

2015

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#67573

Докажите, что если действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют условию

1 1 1 1 a +-b + c = a+-b+-c,

то для любого нечётного числа $n$ верно

1n +-1n +-1n = ---1---n- a b c (a+ b+ c)

Показать доказательство

Первое решение.

Приведем левую дробь к общему знаменателю:

1 1 1 bc+ ac +ab a + b + c =--abc---

Теперь по правилу пропорции имеем равенство:

(a +b+ c)(bc +ac+ ab)= abc

Раскрываем в левой части скобки, получаем:

abc+a2c+ a2b+ b2c +abc+b2a+ c2b+ c2a +abc= abc

В левой и правой части $abc$ взаимно уничтожится, тогду получится уравнение:

2 2 2 2 2 2 ac+ a b+b c+b a+ cb+ ca +2abc= 0

Заметим, что левая часть равна $(a+b)(b+ c)(a+ c).$ Тогда получаем равенство

(a+b)(b+ c)(a+ c) =0

Из которого напрямую следует, что сумма каких-то двух из наших чисел равна нулю.

Тогда для некоторого $p ∈{a,b,c}$ верно $(a +b+ c)n =pn$ и $1an-+ 1bn-+ 1cn-= 1pn.$

Второе решение.

Рассмотрим многочлен, корнями которого являются данные числа

P (x)= (x− a)(x− b)(x − c)

Пусть при раскрытии скобок мы получаем

P (x)= x3+ px2 +qx+ r

Тогда по теореме Виета

( |{ a +b+ c= −p |( ab+ bc+ca= q abc= −r

Из условия после приведения к общему знаменателю получаем

(a +b+ c)(ab+bc+ ca)= abc

то есть

−pq = −r

Тогда $P (x)$ можно представить в виде

x3+ px2 +qx+ pq = x2(x+ p)+q(x+ p) =(x2+ q)(x+p)

Так как мы знаем про наличие трёх корней $a,b,c,$ то $q < 0$ и $2 x +q =(x− t)(x+ t),$ где $√ --- t= −q.$ Не умаляя общности, $a =t,b=− t,c= −p.$

В итоге $b= −a,$ поэтому требуемое верно с учётом того, что $n$ — нечётное число:

1 1 1 1 1 1 1 an +bn + cn-= tn-− tn-+ (−-p)n-= −pn

---1----- ---1----- --1-- 1- (a+ b+ c)n = (t− t− p)n = (−p)n = − pn

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#67584

Докажите, что числа $x,y,z$ положительны, если известно, что положительными являются числа

a= x+y +z, b= xy+ yz+ zx, c=xyz.

Показать доказательство

Первое решение.

Из $xyz > 0$ следует, что одного или трёх неположительных числа среди $x,y,z$ быть не может, не может быть среди них и нулей.

Остаётся разобрать, почему не может быть случая, когда нашлось два отрицательных числа и одно положительное.

Предположим, что такое всё-таки случилось. Не умаляя общности, считаем $x≤ y < 0< z.$ Тогда пусть $t= −x,w= −y.$ Из условия получаем

z− t− w > 0 ⇐ ⇒ z >t+ w

Теперь из этого

2 tw − zw − zt> 0 ⇐⇒ tw> z(t+ w) =⇒ tw >(t+ w)

Из $t> 0,z >0$ получаем

2 2 w-2 3w2 0> t +tw +w =(t+ 2) + 4 > 0

Мы пришли к противоречию $0> 0,$ значит, рассматриваемый случай не может быть, так что все три числа положительные.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Не умаляя общности, считаем $x≥ y ≥z.$

По теореме, обратной теореме Виета для кубического уравнения, числа $x,y,z$ являются корнями уравнения $3 2 t − at +bt− c= 0.$

Если хотя бы одно из чисел неположительно, то $z ≤0$ , а тогда при подстановке $t= z$ получаем

z3 ≤ 0

−az2 ≤ 0

bz ≤ 0

−c< 0

Но тогда

3 2 0 =z − az +bz− c< 0

приходим к противоречию.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Можно сформулировать и более общий факт для $n$ чисел. Если все элементарные симметрические многочлены от $n$ переменных (их сумма, сумма попарных произведений, сумма произведений по три и так далее до одной суммы из произведения всех $n$ чисел) имеют для заданных $n$ чисел один и тот же знак (все положительные или все отрицательные), то каждое из этих чисел имеет тот же знак (все положительны или все отрицательны). Доказательство проводится аналогично с использованием теоремы Виета для многочлена степени $n$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#67953

Числа $x ,x ,x 1 2 3$ являются корнями уравнения $x3 +6x2+ 7x +1 =0.$ При каких значениях $a,b,c$ корнями уравнения $3 2 x + ax +bx+ c= 0$ являются числа $x1+x2,x2+ x3$ и $x3+ x1?$

Источники: ПВГ-2023, 10.3 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По условию достаточно очевидно, что нужно пользоваться именно теоремой Виета) Так что давайте находить коэффициенты по очереди. Что легче всего сейчас найти?

Подсказка 2

Сумму новых корней! Это будет просто 12. Дальше нужно постараться выразить оставшиеся выражения, которым равны новые коэффициенты, с помощью известных нам. Например, попробуйте выразить b с помощью попарных произведений и суммы корней изначального многочлена, а c - через все три выражения: сумму, сумму попарных произведений, и произведения корней.

Подсказка 3

Если b найти просто, то c последним коэффициентом могут быть трудности. Такое наблюдение: попробуйте вынести за скобки из всего этого выражения сумму изначальных корней)

Показать ответ и решение

По теореме Виета для первого уравнения:

( − 6= x +x + x , |{ 1 2 3 |( 7 =x1x2+ x1x3+ x2x3, − 1= x1x2x3.

Из этой же теоремы для второго уравнения:

−a =(x1+ x2)+ (x2+x3)+ (x3+ x1);

−a= 2(x + x + x). 1 2 3

Откуда получим, что $a= 12.$ Далее найдем $b :$

b=(x1+ x2)(x2+x3)+ (x1+ x2)(x3+ x1)+ (x3 +x1)(x2+ x3)=3(x1x2 +x1x3+ x2x3)+ (x2+ x2+ x2); 1 2 3

b= (x1+ x2+ x3)2+ (x1x2+ x1x3+ x2x3) =43.

Наконец, найдем $c:$

c= −(x1+x2)(x2+ x3)(x3+ x1) =−(−6 − x1)(−6 − x2)(−6 − x3).

Пусть $3 2 f(x)= x +6x + 7x+ 1.$ Из условия $f(x)= (x − x1)(x − x2)(x− x3).$ Тогда заметим, что $c =− f(−6)= 41.$

Ответ:

$a =12,b=43,c= 41$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#69234

Докажите, что многочлен $P(t)=t3− 2t2− 10t− 3$ имеет три различных действительных корня. Найдите многочлен $R(t)$ третьей степени с корнями $2 2 2 2 22 u = xy z,v =x z y,w = yz x,$ где $x,y,z$ — различные корни многочлена $P (t).$

Источники: ШВБ-2023, 11.1 (см. olymp.bmstu.ru)

Подсказки к задаче

Первый вопрос, подсказка 1

Раз нас просят доказать существование корней, то находить их самих необязательно. Что значит существование корня с точки зрения графика? Это значит, что он пересекает ось x. (Конечно, он может и касаться его, но тогда это будет кратный корень, отсутствие которого вы можете легко проверить) Исходя из этого, какое условие нужно проверить? Возможно, вы даже знаете теорему, связанную с этим вопросом.

Первый вопрос, подсказка 2

Верно, если многочлен пересекает ось x, то значит, что до этого он принимал значение одного знака, а после корня — другого. Вам осталось только найти подходящие точки и проверить знак многочлена в них, чтобы он был различным. Тогда между этими точками и лежат различные корни. Это и есть теорема о промежуточном значении, а точнее следствие из неё.

Второй вопрос, подсказка 3

Нас просят теперь найти многочлен с корнями, которые выражаются через корни исходного. А какая теорема связывает корни многочлена и его коэффициенты?

Второй вопрос, подсказка 4

Верно, конечно это теорема Виета. Выразите сначала коэффициенты P(t) через его корни. Потом запишите теорему Виета для нового многочлена. Осталось только всё выразить в удобном виде, подставить и победа!

Показать ответ и решение

Поскольку $P(−3)=− 18< 0,$ а $P(−1)=4 >0,$ то по теореме о промежуточном значении между $− 3$ и $− 1$ есть корень этого многочлена. $P(−1)=4 >0,$ $P (0)= −3< 0,$ значит между $− 1$ и $0$ у многочлена есть корень. $P(0)= −3< 0,$ $P(5)= 22> 0,$ значит между $0$ и $5$ у многочлена есть корень. Получили, что у многочлена есть три различных (потому что каждый находится в своем интервале) действительных корня.

Из теоремы Виета для данного многочлена имеем:

x+y +z =2, xy+ yz+ zx= −10, xyz = 3

Тогда можно через теорему Виета для $R(t)$ найти его коэффициенты:

u+ v+ w= xyz(xy+ yz+zx)= 3⋅(−10) =− 30

uv+ vw+ wu =x3y3z3(x+ y+ z)=33⋅2= 54

uvw =x5y5z5 = 35 =243

Отсюда $R(t)= t3+30t2+54t− 243.$

Ответ:

$R(t)=t3+ 30t2+ 54t− 243$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#70995

Найдите все значения $a$ и $b$ , при которых уравнения $x(x2− 3x − 2)= a$ и $x(x2+$ $4x − 9)= b$ имеют два общих корня. В ответе укажите наибольшее возможное значение $a+ b$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Если уравнения имеют два общих корня, то давайте попробуем воспользоваться теоремой Виета для многочлена третьей степени! Что мы еще можем сказать про разность этих уравнений?

Подсказка 2

Да, их разность имеет корни, которые равны их общим корням! И тогда, по теореме Виета: сумма этих корней равна 1. Тогда, чему равны третьи оставшиеся корни в каждом уравнении:

Подсказка 3

Да, они равны 2 и -5. Тогда, чему равна сумма a и b?

Показать ответ и решение

Пусть $x ,x,x 1 2 3$ — корни первого уравнения, $x,x ,x 1 2 4$ — корни второго (легко проверить, что третий корень также вещественный при наличии двух). Тогда из теоремы Виета заключаем

x1+x2+ x3 = 3, x1+ x2+x4 =− 4

Выпишем разность этих двух уравнений, этот квадратный трёхчлен имеет два корня $x1,x2$ , которые совпадают у кубических уравнений

2 −7- 7x − 7x= b− a ⇐⇒ x1+ x2 =− 7 =1

Но тогда получаем $x3 = 2,x4 =− 5$ , подставляем

a =2⋅(4− 6− 2)= −8, b=− 5⋅(25− 20− 9)= 20

Остаётся проверить, что при вынесении $x− x,x− x 3 4$ из первого и второго уравнения соответственно, останется одна и та же скобка $x2− x− 4$ , которая и даст два общих корня, значит, найденные $(a,b)= (−8,20)$ подходят.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#39778

Найдите сумму кубов корней многочлена $x3+x2− 7x+ 1$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Нужно что-то доказать про корни уравнения? Отлично, давайте попробуем написать теорему Виета! Правда, известные нам выражения не являются суммой кубов..

Подсказка 2!

2) Но мы знаем все возможные произведения, которые могут быть у трех чисел, давайте попробуем выразить сумму кубов через них!

Показать ответ и решение

Проверим, что существуют все три корня, для этого посмотрим на значения данного многочлена в точках $− 4,0,1,3$

3 2 (−4) +(−4) − 7⋅(−4)+ 1= −19< 0

3 2 0 + 0 − 7⋅0+ 1= 1> 0

13+ 12− 7⋅1+1 =− 4< 0

33+32− 7⋅3+ 1= 16 >0

Тогда в силу непрерывности многочлена у него будут три корня на интервалах $(− 4;0),(0;1),(1;3).$

Пусть корни $x1$ , $x2$ и $x3$ . По теореме Виета

x1+ x2 +x3 = −1

x1x2+ x1x2+ x2x3 = −7

x1x2x3 = −1

Тогда

3 3 3 3 −1= (x1+x2 +x3) =(x1+ x2+x3)+

2 2 2 2 2 2 +3(x1x3+ x1x2+x2x3+ x1x3+ x1x2+x2x3)+6x1x2x3 =

=(x3+ x3+x3)+ 3((x + x +x )(x x + xx + x x)− 3x xx )+ 6x x x = 1 2 3 1 2 3 1 2 13 2 3 12 3 1 2 3

= (x31 +x32+ x33)+3(7+3)− 6

Итак,

x31+ x32 +x33 = −1 − 3(7+3)+ 6= −25.

Ответ:

$− 25$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#39791

Про положительные числа $a$ , $b$ , $c$ известно, что $abc= 1$ и

1 1 1 a +b+ c> a + b + c

Докажите, что ровно одно из чисел $a$ , $b$ и $c$ больше $1$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1) Хм, заметим, что у нас выражения, про которые написана задача, очень похожи на выражения корней из теоремы Виета для кубических уравнений! Но в задаче нет уравнения, давайте его сделаем!

Подсказка 2!

2) Верно, нам подойдет уравнение (x-a)(x-b)(x-c) = 0! Посмотрим, что теперь значит наше условие в таком контексте..

Подсказка 3!

3) Оно означает, что для x>1 у нашего уравнения должна быть всего одна точка пересечения с осью абсцисс. (один корень) Попробуем это доказать!

Показать доказательство

Первое решение.

Рассмотрим многочлен

f(x)= (x− a)(x− b)(x − c)=

3 2 = x − (a+ b+c)x +(ab+ bc+ ac)x− abc=

= x3− px2+ qx− 1.

Из условия следует, что $p> q$ и все корни многочлена положительны. Тогда $f(1)= q− p <0$ , а для кубического многочлена $f(x)→ +∞$ при $x→ +∞$ , так что в силу непрерывности при $x >1$ найдутся одна или три точки пересечения $f(x)$ с осью абсцисс. Три точки найтись не могут, так как произведение корней не может быть больше единицы (по теореме Виета оно равно единице).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Рассмотрим неравенство

a+ b+c− (1+ 1+ 1)abc− 1+ abc>0 a b c

По условию оно верно в силу $abc =1$ . Тогда

a+ b+c− ab− ac − bc− 1+abc= (a − 1)(b− 1)(c− 1) >0

И скобки либо все положительные, либо положительная только одна. В первом случае все числа больше единицы, но это противоречит условию $abc=1$ . Значит, ровно одно число больше единицы.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#40725

Решите систему уравнений

( 1 1 1 13 |||{ x + y + z = 3 | x+ y+ z = 13 ||( xyz = 1 3

Показать ответ и решение

Из первого уравнения с учётом третьего получаем $xy+ yz+ xz = 13 3$ . Итак, нам известны сумма, произведение и попарное произведение чисел $x,y,z$ . По обратной теореме Виета если решение системы существует, то каждое из этих чисел $x$ , $y$ и $z$ является корнем уравнения $3 13 2 13 x − 3 x + 3 x− 1 =0.$

Левую часть уравнения легко разложить на множители:

13 13 13 9 1 ( 1) x3− 1− (3 x2−-3 x)= (x − 1)(x2+ x+ 1− 3-x)=(x− 1)(x2− 3x− 3(x− 3))= (x− 1) x −3 (x− 3)

Так что решением является тройка $(1;3;13)$ и её перестановки.

Ответ:

$(1;3;1) 3$ , $(3;1;1) 3$ , $(1;1;3) 3$ , $(3;1;1) 3$ , $(1;1;3) 3$ , $(1;3;1) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#76581

Многочлен третьей степени имеет три различных корня строго между 0 и 1. Учитель сообщил ученикам два из этих корней. Ещё он сообщил все четыре коэффициента многочлена, но не указал, в каком порядке эти коэффициенты идут. Обязательно ли можно восстановить третий корень?

Источники: Турнир городов - 2022, 11.1 (см. www.turgor.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам известны 2 корня и все коэффициенты в каком-то порядке! Все корни меньше единицы, но больше 0. Что тогда можно сказать про коэффициенты и их сравнения относительно друг друга?

Подсказка 2

Да, свободный член наименьший по модулю и при этом, знаки у коэффициентов чередуются! В таком случае, что можно сказать исходя из теоремы Виета?

Подсказка 3

Верно, по теореме Виета для b и d, которые мы знаем, можно найти a! А дальше уже можно найти и оставшийся корень.

Показать ответ и решение

Пусть $a,b,c,d$ — коэффициенты многочлена от старшего к младшему, $α,β$ — известные корни, $γ$ — неизвестный корень. Прежде всего заметим, что так как все корни между 0 и 1, то в силу теоремы Виета коэффициент $d$ — наименьший из коэффициентов по абсолютной величине.

Поскольку все корни многочлена положительны, знаки коэффициентов чередуются. Поэтому, зная $d,$ определяем $b.$ Если найти $a,$ то определяется и $c.$ Заметим, что по Виета

−d aγ = αβ-и b= −a(α+ β+ γ)

Поэтому можно найти $a(α +β).$ Так как $α$ и $β$ известны, отсюда определяется $a.$ А значит и третий корень $γ.$

Ответ: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#40271

Кубический многочлен имеет три корня. Наибольшее его значение на отрезке $[4;9]$ достигается при $x =5$ , а наименьшее при $x =7$ . Найдите сумму корней многочлена.

Источники: ИТМО - 2021, 11.1 (см. olymp.itmo.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте в первую очередь обозначим наш многочлен в стандартном виде. И раз нам намекают про производную в условии, то найдём и её. Исходя из заданного условия, что мы можем сказать про нули производной?

Подсказка 2

Верно, числа 5 и 7 являются просто корнями квадратного трёхчлена, то есть нулями производной. Запишем это в виде разложения на множители. Давайте теперь вспомним, какая есть теорема, где мы знаем сумму корней многочлена через его коэффициенты?

Подсказка 3

Точно, это теорема Виета! Мы можем выразить через изначальные коэффициенты кубического многочлена сумму корней производной, а оттуда найти и нужную сумму корней.

Показать ответ и решение

Пусть многочлен имеет вид $P (x)= ax3+ bx2+ cx+ d$ , откуда его производная $P′(x)= 3ax2 +2bx+ c$ .

Так как наименьшее и наибольшее значения достигаются во внутренних точках отрезка, то по необходимому условию экстремума производная в этих точках равна нулю, так что $′ f(x)$ имеет корни $5$ и $7$ , так что можно записать $′ P (x)= 3a(x − 5)(x − 7).$

По теореме Виета сумма корней многочлена $P(x)$ равна $b − a$ , а сумма корней многочлена $′ P (x)$ равна $2b- − 3a = 5+7 =12$ , откуда находим $b − a =18$ .

Ответ:

Предыдущий раздел

Следующий раздел