Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела физтех
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#33644

Решите неравенство 27√log3x− 11⋅3√4log3x+ 40⋅x√logx3 ≤ 48.

Источники: Физтех-2020, 11.3, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ: x> 1  .

Заметим, что

 √----  (    )√logx3-  ∘log2x⋅log3-  √ ----
x logx3 = 3log3x       =3   3   x  =3  log3x

Значит, неравенство можно переписать в виде   √----      √ ----     √----
33 log3x− 11⋅32 log3x +40⋅3 log3x ≤ 48  . (Отметим, что при этом изменилась область допустимых значений: исчезло ограничение x ⁄=1  , которое необходимо будет учесть в дальнейшем.) Обозначим     √----
t= 3 log3x  . Тогда получаем t3− 11t2+ 40t− 48≤ 0  , или, раскладывая левую часть на множители, (t− 3)(t− 4)2 ≤ 0 ⇐⇒   t∈ (−∞; 3]∪ {4} .

Возвращаясь к переменной x  , находим, что

[  √----           [ ∘ -----             [                   [
  3√log3x ≤ 3, ⇐ ⇒    ∘ log3x≤ 1,     ⇐⇒     0≤ log3x≤ 1,  ⇐ ⇒    1 ≤x ≤3
  3 log3x = 4           log3x= log34          log3x =log234          x =4log34

Осталось учесть потерянное условие x ⁄=1  из ОДЗ, поэтому окончательный результат таков:         {    }
x∈ (1;3]∪ 4log34 .

Ответ:

 (1;3]∪{4log34}

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!