Тема . Математический анализ

.12 Несобственный интеграл Римана

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#81891

Пусть оба несобственных интеграла (неважно, I или II рода, т.е. $ω$ - конечное число или символ бесконечности)

∫ ω f(x)dx a

и

∫ ω g(x )dx a

- сходятся.

Доказать, что тогда будет сходиться и несобственный интеграл

∫ ω (f(x) + g(x))dx a

да притом

∫ ∫ ∫ ω ω ω a (f(x)+ g(x))dx = a f(x)dx+ a g(x)dx

Показать ответ и решение

Сходимость

∫ ω f(x)dx a

по определению означает существование предела при $t → ω −$ у функции

∫ t ℱ(t) = f(x)dx a

Аналогично, сходимость

∫ ω g(x )dx a

по определению означает существование предела при $t → ω −$ у функции

∫ t 𝒢(t) = a g(x)dx

Но а сходимость

∫ ω (f(x) + g(x))dx a

по определению означает существование предела при $t → ω −$ у функции

∫ t (f(x)+ g (x ))dx a

Но, поскольку, при любом $t > a$ по свойству определенного интеграла Римана мы можем написать, что

∫ t ∫ t ∫ t (f (x )+ g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx = ℱ(t)+ 𝒢 (t) a a a

то, переходя к пределу при $t → ω −$ в левой и правой части мы имеем (в правой части мы пользуемся теоремой о пределе суммы), что

∫ t ∫ ω ∫ ω lim (f (x )+ g(x))dx = lim ℱ(t)+ lim 𝒢(t) = f(x)dx + g(x)dx t→ω− a t→ ω− t→ω − a a

Что и означает, что сходится несобственный интеграл

∫ ω (f(x) + g(x))dx a

- сходится, да притом

∫ ω ∫ ω ∫ ω (f(x)+ g(x))dx = f(x)dx+ g(x)dx a a a

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse