.00 №14 из ЕГЭ 2024
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырёхугольной пирамиде 
точка 
— центр основания
Точка 
делит ребро 
в отношении 
Плоскость
проходящая через точки 
и 
и параллельная ребру 
пересекает
ребро 
в точке 
Известно, что 
а) Докажите, что точка 
— середина 
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость 
пересечёт грань
Источники:
а) В правильной четырехугольной пирамиде основание 
является
квадратом, тогда 
— точка пересечения его диагоналей 
и 
значит,
— середина 
и 
Плоскость 
пересекает плоскость 
и параллельна прямой 
лежащей в этой плоскости. Значит, плоскость 
пересекает 
по прямой,
параллельной 
Таким образом, 
Следовательно, 
— средняя
линия треугольника 
так как 
и 
— середина 
Значит,
— середина 
б) Плоскость 
пересекает плоскость грани 
и параллельна прямой 
лежащей в этой плоскости. Значит, плоскость 
пересекает 
по прямой,
параллельной 
Пусть 
— точка пересечения плоскости 
и ребра 
Тогда 
Следовательно, по теореме о пропорциональных отрезках
По условию 
— правильная пирамида, 
Значит, все
ребра пирамиды равны 6. Тогда
Плоскость 
проходит через точки 
и 
следовательно, пересекает
плоскость основания 
по прямой 
Пусть 
пересекает 
в точке
Рассмотрим 
и 
В них 
так как 
—
середина 
как накрест лежащие углы, образованные
параллельными прямыми 
и 
и секущей 
как
вертикальные. Значит, 
по стороне и двум прилежащим к ней
углам.
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому
Тогда 
Так как по условию точка 
— середина отрезка 
и 
то
Нам нужно найти длину отрезка 
так как по нему плоскость 
пересекает грань 
Все ребра пирамиды равны, поэтому 
— равносторонний. Тогда
По теореме косинусов для 
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
