Тема Задачи №21 из банка ФИПИ

№21. Тип 2

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#92508

Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+ 10$ км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км| |-------|-------------|--------|---------| |Первый | x+ 10 | --60- | 60 | |-------|-------------|-x-+-10-|---------| |Второй | x | 60 | 60 | --------------------------x---------------

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 3 часа раньше второго. Тогда можем составить уравнение:

-60--+ 3 = 60 x+ 10 x --60- − 60+ 3= 0 x + 10 x 60x−-60(x-+10)+-3x(x+-10) x(x+ 10) = 0 ( |{ 60x − 60(x+ 10)+ 3x(x + 10)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= −10

Решим первое уравнение системы:

60x− 60(x +10)+ 3x(x+ 10)= 0 60x − 60x − 600+ 3x2+ 30x= 0 3x2+ 30x− 600= 0 2 x + 10x− 200 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D =10 + 4⋅200= 900= 30

Тогда

⌊ − 10+ 30 [ |x= ----2--- x= 10 ⌈ −-10−-30 ⇔ x= −20 x= 2

Корень $x = −20$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#92509

Два велосипедиста одновременно отправляются в 209-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 8 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 8 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+ 8$ км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км| |-------|-------------|--------|---------| |Первый | x+ 8 | -209-- | 209 | |-------|-------------|--x+-8--|---------| |Второй | x | 209- | 209 | --------------------------x---------------

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 8 часа раньше второго. Тогда можем составить уравнение:

-209--+8 = 209 x+ 8 x -209-− 209+ 8= 0 x + 8 x 209x−-209(x+-8)+-8x(x-+-8) x(x+ 8) = 0 ( |{ 209x − 209(x+ 8)+ 8x(x +8)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= −8

Решим первое уравнение системы:

209x− 209(x+ 8)+ 8x(x + 8)= 0 209x− 209x− 1672 +8x2+ 64x= 0 8x2+ 64x− 1672 = 0 2 x + 8x− 209= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 8 + 4⋅209= 900= 30

Тогда

⌊ −8 +30 [ |x = ---2--- x =11 ⌈ −8-− 30 ⇔ x =− 19 x = 2

Корень $x = −19$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 11 км/ч.

Ответ: 11 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#92795

Два велосипедиста одновременно отправляются в 180-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 5 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+ 5$ км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км| |-------|-------------|--------|---------| |Первый | x+ 5 | -180-- | 180 | |-------|-------------|--x+-5--|---------| |Второй | x | 180- | 180 | --------------------------x---------------

-180--+3 = 180 x+ 5 x -180-− 180+ 3= 0 x + 5 x 180x−-180(x+-5)+-3x(x-+-5) x(x+ 5) = 0 ( |{ 180x − 180(x+ 5)+ 3x(x +5)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= −5

Решим первое уравнение системы:

180x− 180(x+ 5)+ 3x(x + 5)= 0 180x − 180x− 900+ 3x2+ 15x= 0 3x2+ 15x− 900= 0 2 x + 5x− 300= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D =5 + 4⋅300 =1225= 35

Тогда

⌊ −5 +35 [ |x = ---2--- x =15 ⌈ −5-− 35 ⇔ x =− 20 x = 2

Корень $x = −20$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#92798

Два велосипедиста одновременно отправляются в 112-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 9 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+ 9$ км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км| |-------|-------------|--------|---------| |Первый | x+ 9 | -112-- | 112 | |-------|-------------|--x+-9--|---------| |Второй | x | 112- | 112 | --------------------------x---------------

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 4 часа раньше второго. Тогда можем составить уравнение:

-112--+4 = 112 x+ 9 x -112-− 112+ 4= 0 x + 9 x 112x−-112(x+-9)+-4x(x-+-9) x(x+ 9) = 0 ( |{ 112x − 112(x+ 9)+ 4x(x +9)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= −9

Решим первое уравнение системы:

112x− 112(x+ 9)+ 4x(x + 9)= 0 112x− 112x− 1008 +4x2+ 36x= 0 4x2+ 36x− 1008 = 0 2 x + 9x− 252= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D =9 + 4⋅252 =1089= 33

Тогда

⌊ −9 +33 [ |x = ---2--- x =12 ⌈ −9-− 33 ⇔ x =− 21 x = 2

Корень $x = −21$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#92801

Два велосипедиста одновременно отправляются в 105-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 16 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+ 16$ км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км| |-------|-------------|--------|---------| |Первый | x+ 16 | --105- | 105 | |-------|-------------|-x-+-16-|---------| |Второй | x | 105- | 105 | --------------------------x---------------

--105- + 4= 105 x + 16 x -105-− 105 + 4= 0 x+ 16 x 105x−-105(x-+16)+-4x(x-+-16)- x(x+ 16) = 0 ( |{ 105x − 105(x+ 16)+ 4x(x +16)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= − 16

Решим первое уравнение системы:

105x− 105(x +16)+ 4x(x + 16) =0 105x− 105x− 1680 +4x2+ 64x= 0 4x2+ 64x− 1680 = 0 2 x + 16x− 420 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 16 + 4⋅420= 1936 = 44

Тогда

⌊ − 16+ 44 [ |x= ----2--- x= 14 ⌈ −-16−-44 ⇔ x= −30 x= 2

Корень $x = −30$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 14 км/ч.

Ответ: 14 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92813

Два велосипедиста одновременно отправляются в 208-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 3 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+ 3$ км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км| |-------|-------------|--------|---------| |Первый | x+ 3 | -208-- | 208 | |-------|-------------|--x+-3--|---------| |Второй | x | 208- | 208 | --------------------------x---------------

-208--+3 = 208 x+ 3 x -208-− 208+ 3= 0 x + 3 x 208x−-208(x+-3)+-3x(x-+-3) x(x+ 3) = 0 ( |{ 208x − 208(x+ 3)+ 3x(x +3)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= −3

Решим первое уравнение системы:

208x− 208(x+ 3)+ 3x(x + 3)= 0 208x− 208x − 624 +3x2+ 9x =0 3x2+ 9x− 624 = 0 2 x + 3x− 208= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 3 + 4⋅208= 841= 29

Тогда

⌊ −3 +29 [ |x = ---2--- x =13 ⌈ −3-− 29 ⇔ x =− 16 x = 2

Корень $x = −16$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 13 км/ч.

Ответ: 13 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#92817

Два велосипедиста одновременно отправляются в 140-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 6 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+ 6$ км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км| |-------|-------------|--------|---------| |Первый | x+ 6 | -140-- | 140 | |-------|-------------|--x+-6--|---------| |Второй | x | 140- | 140 | --------------------------x---------------

-140--+3 = 140 x+ 6 x -140-− 140+ 3= 0 x + 6 x 140x−-140(x+-6)+-3x(x-+-6) x(x+ 6) = 0 ( |{ 140x − 140(x+ 6)+ 3x(x +6)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= −6

Решим первое уравнение системы:

140x− 140(x+ 6)+ 3x(x + 6)= 0 140x − 140x− 840+ 3x2+ 18x= 0 3x2+ 18x− 840= 0 2 x + 6x− 280= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D =6 + 4⋅280 =1156= 34

Тогда

⌊ −6 +34 [ |x = ---2--- x =14 ⌈ −6-− 34 ⇔ x =− 20 x = 2

Корень $x = −20$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 14 км/ч.

Ответ: 14 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#92819

Два велосипедиста одновременно отправляются в 140-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 14 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 5 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+ 14$ км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км| |-------|-------------|--------|---------| |Первый | x+ 14 | --140- | 140 | |-------|-------------|-x-+-14-|---------| |Второй | x | 140- | 140 | --------------------------x---------------

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 5 часа раньше второго. Тогда можем составить уравнение:

--140- + 5= 140 x + 14 x -140-− 140 + 5= 0 x+ 14 x 140x−-140(x-+14)+-5x(x-+-14)- x(x+ 14) = 0 ( |{ 140x − 140(x+ 14)+ 5x(x +14)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= − 14

Решим первое уравнение системы:

140x− 140(x +14)+ 5x(x + 14) =0 140x− 140x− 1960 +5x2+ 70x= 0 5x2+ 70x− 1960 = 0 2 x + 14x− 392 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 14 + 4⋅392= 1764 = 42

Тогда

⌊ − 14+ 42 [ |x= ----2--- x= 14 ⌈ −-14−-42 ⇔ x= −28 x= 2

Корень $x = −28$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 14 км/ч.

Ответ: 14 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92823

Два велосипедиста одновременно отправляются в 100-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 15 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 6 часов раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+ 15$ км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км| |-------|-------------|--------|---------| |Первый | x+ 15 | --100- | 100 | |-------|-------------|-x-+-15-|---------| |Второй | x | 100- | 100 | --------------------------x---------------

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на 6 часа раньше второго. Тогда можем составить уравнение:

--100- + 6= 100 x + 15 x -100-− 100 + 6= 0 x+ 15 x 100x−-100(x-+15)+-6x(x-+-15)- x(x+ 15) = 0 ( |{ 100x − 100(x+ 15)+ 6x(x +15)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= − 15

Решим первое уравнение системы:

100x− 100(x +15)+ 6x(x + 15) =0 100x− 100x− 1500 +6x2+ 90x= 0 6x2+ 90x− 1500 = 0 2 x + 15x− 250 = 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 15 + 4⋅250= 1225 = 35

Тогда

⌊ − 15+ 35 [ |x= ----2--- x= 10 ⌈ −-15−-35 ⇔ x= −25 x= 2

Корень $x = −25$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#52700

Два велосипедиста одновременно отправляются в 224-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 32

Показать ответ и решение

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+ 2$ км/ч. Составим таблицу:

|-------|Скорость, км/ч|В-рем-я,-ч|-Путь, км| |-------|-------------|--------|---------| |Первый | x+ 2 | -224-- | 224 | |-------|-------------|--x+-2--|---------| |Второй | x | 224- | 224 | --------------------------x---------------

-224--+2 = 224 x+ 2 x -224-− 224+ 2= 0 x + 2 x 224x−-224(x+-2)+-2x(x-+-2) x(x+ 2) = 0 ( |{ 224x − 224(x+ 2)+ 2x(x +2)= 0 |( x⁄= 0 x⁄= −2

Решим первое уравнение системы:

224x− 224(x+ 2)+ 2x(x + 2)= 0 224x− 224x − 448 +2x2+ 4x =0 2x2+ 4x− 448 = 0 2 x + 2x− 224= 0

Найдем дискриминант полученного уравнения:

2 2 D = 2 + 4⋅224= 900= 30

Тогда

⌊ −2 +30 [ |x = ---2--- x =14 ⌈ −2-− 30 ⇔ x =− 16 x = 2

Корень $x = −16$ не подходит по смыслу задачи, так как $x > 0.$ Поэтому скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым, равна 14 км/ч.

Ответ: 14 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2