Тема 12. Исследование функций с помощью производной

12.13 Нетипичные задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела исследование функций с помощью производной

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1662

Найдите наибольшее значение функции

3 x ---x------ y = ln (e + 1) + ln3 (e − 1 ) − 0, 25(x − ln (e − 1))

на $[0;ln(e − 1)]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $ex + 1 > 0$ . Так как $ex > 0$ при любом $x$ , то $ex + 1 > 0$ , следовательно, $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Заметим, что $ln3 (e − 1)$ и $ln (e − 1)$ – просто числа, тогда:

ex 3x2 y′ = ------ + --3------- − 0,25. ex + 1 ln (e − 1)

Исследуем на наличие критических точек:

так как

( ) ex ′ ex -x---- = --x-----2 > 0, e + 1 (e + 1)

то $ex ex-+-1$ возрастает, следовательно, на $[0;ln (e − 1)]$ имеем:

ex e0 ------ ≥ ------ = 0, 5, ex + 1 e0 + 1

тогда на $[0;ln(e − 1)]$ можно оценить

x 2 2 y′ = --e--- + ---3x----- − 0,25 ≥ 0,5 + ---3x-----− 0, 25 ≥ 0,25 > 0, ex + 1 ln3(e − 1) ln3 (e − 1 )

следовательно, критических точек у функции $y$ на отрезке $[0;ln(e − 1)]$ нет и функция $y$ на нём возрастает.

Таким образом, наибольшее значение на $[0;ln(e − 1)]$ функция достигает в $x = ln (e − 1 )$ .

ln3(e − 1) y(ln (e − 1)) = ln(e − 1 + 1) + --3------- = 2. ln (e − 1)

Итого: $2$ – наибольшее значение функции $y$ на $[0;ln(e − 1)]$ .

Ответ: 2

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse