25.04 Основная теорема арифметики

По основной теореме арифметики (ОТА) каждое натуральное число, большее 1, можно разложить на простые множители. То есть некоторое натуральное число можно разложить в следующий вид:

Здесь – некоторое простое число, а – натуральный показатель степени. В таком случае число обязательно имеет делителей (каждое простое число можно брать от 0 до раз, где ).

В данной задаче необходимо, чтобы у числа было ровно 7 чётных делителей. Значит в разложении числа должно участвовать простое число 2.

Пусть число имеет следующий вид:

Выпишем количество делителей числа:

Выпишем количество делителей числа, не содержащих степень числа 2, то есть не являющихся чётными:

Из общего количества делителей вычтем количество делителей, не являющихся чётными, и получим количество чётных делителей:

Обозначим произведение всех за . Так как количество по условию должно быть равно 7, то . Так как число 7 – простое, то либо и , либо и .

В первом случае это число , так как означает, что других простых чисел в разложении числа нет.

Во втором случае произведение всех равно 7, а значит только 1 множитель должен быть равен 7 (так как 7 – простое число). Отсюда некоторое . Поэтому число будет иметь вид .

В общем случае это можно представить, как где – любое простое число (включая число 2, что обобщает эти два случая).

Таким образом, нужно будет перебрать простые числа так, чтобы получить все возможные числа вида из отрезка .

def is_prime(n):  # Функция проверки на простое число
    for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
        if n % i == 0:  # Если нашли нетривиальный делитель
            return False  # То число не простое, возвращаем False
    return n > 1  # Если число равно 1, то оно непростое, и будет возвращено False, а иначе True


ans = 0  # Счётчик для ответа

# Нужно перебрать все числа вида x = 2 * p**6, где p - простое число

# Находим максимально возможное p для отрезка
p_max = int(99_999_999 ** (1 / 6))

# Перебираем простые числа от 2 до максимально возможного
for p in range(2, p_max + 1):
    if is_prime(p):  # Если число p - простое
        # То проверяем, что итоговое число будет принадлежать отрезку
        if 33_333_333 <= 2 * p ** 6 <= 99_999_999:
            ans += 1
print(ans)