12.08 Поиск наибольшего/наименьшего значения у сложных функций

1) Обозначим , тогда .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна или не существует):

(так как , но при любом ), что равносильно при , откуда находим корни . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства : (их бесконечно много, но они чередуются)
 

 
3) Эскиз графика:
 

 
Таким образом, – точки локальных максимумов функции и наибольшее значение достигается в одной из них:

.

Итого: – наибольшее значение функции .