Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела многочлены
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#136148

Интерполяция по Лагранжу. Пусть x ,
 0  x ,
 1  x ,
 2  …, x
n  — попарно различные действительные числа.

(a) Найдите многочлен Pi(x)  степени n  такой, что Pi(xi)= 1,  и Pi(xj)= 0  при j ⁄= i;

(b) Выведите из пункта (a) существование интерполяционного многочлена степени не выше n.

Показать ответ и решение

(a) Заметим, что

       (x− x0)...(x− xi)...(x− xn)
Pi(x)= (x-− x-)...(x-− x-)...(x-−-x-),
        i  0     i  i    i   n

где крышечка означает отсутствие скобки, подходит, ведь в xi  значения числителя и знаменателя одинаковы и не равны 0, а в остальных точках числитель обнуляется, а знаменатель нет.

(b) Возьмём

                           ∑n   -(x−-x0)...(x-− xi)...(x-− xn)
P(x)= y0⋅P0(x)+ ...+ yn⋅Pn(x)= i=0yi⋅(xi− x0)...(xi− xi)...(xi− xn).

Он подходит, ведь в точке xi  все слагаемые кроме (i+ 1)  -ого обнуляются, а (i+ 1)  -ое принимает значение yi.  Его степень не выше n,  так как степень каждого слагаемого равна n.

Ответ:

(a) P (x)= -(x−x0)...(x−-xi)...(x−xn)-,
 i    (xi−x0)...(xi−xi)...(xi−xn)  где крышечка означает отсутствие скобки.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!