Интерполяция

(a) Запишем интерполяционную формулу Лагранжа для многочлена в точках и и получим в точности выражение из условия, а значит, это выражение равно

(b) Запишем интерполяционную формулу Лагранжа для многочлена в точках и

Нетрудно увидеть из формулы, что выражение из условия является старшим коэффицентом этого многочлена. С другой стороны, он равен 1. Значит, выражение равно 1.

(c) Пусть а — многочлен степени не выше 2, который в точках принимает значения соответственно. Запишем интерполяционную формулу Лагранжа для

Тогда нам требуется доказать, что старший коэффицент является целым.

Так как разность обнуляется в точках и то она делится на

Степень не больше 2, тогда является остатком от деления на

Но в процессе деления в столбик на мы получаем в частном только целые коэффиценты при степенях, что следует из приведенности Теперь и частное — многочлены с целыми коэффицентами, а значит, и имеет целые коэффиценты, что и доказывает требуемое.