Интерполяция

(a) Рассмотрим многочлен

У него старший коэффицент не является целым при В точке 0 он равен а в точках 1, 2, …, он обнуляется. Значит, он нам подходит.

(b) Пусть для Запишем интерполяционный многочлен Лагранжа для степени в точках 0, 1, …,

где крышечка означает отсутствие скобки. Тогда

— многочлен с целыми коэффицентами.

(c) Доопределим число сочетаний и для отрицательных чисел: пусть

при целых и Это число при неотрицательном — целое по комбинаторному определению числа сочетаний, а при отрицательном оно тоже целое, ведь

Из пункта (b):

Из рассуждений выше понимаем, что каждое слагаемое — целое, а значит, в любой целой точке значение многочлена является целым.