Интерполяция

(a) Пусть

и

Тогда

Коэффицент при равен 0, а при равен Значит, и

Докажем индукцией по что такой многочлен существует и единственен с точностью до прибавления константы. База для очевидна, докажем переход от к Так как мы уже нашли, то пусть

По предположению индукции (так как степень не больше ) существует многочлен что

Но тогда возьмём

и получим, что

Значит, такой многочлен существует. Теперь докажем его единcтвенность с точностью до прибавления константы. Пусть

тогда

где Тогда

Пусть

Многочлен однозначно восстанавливается по Но тогда по предположению индукции однозначно восстанавливается с точностью до прибавления константы, откуда и следует единcтвенность с точностью до прибавления константы.

(b) Условие равносильно тому, что и

Как мы поняли из пункта (a), многочлен удовлетворяющий второму условию, существует и единственен с точностью до прибавления константы, тогда сдвинем его на константу так, что Также мы ранее уже доказывали, что его степень равна