Поиск точек экстремума у смешанных функций —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#13551

Найдите точку минимума функции $y = 2x− ln(x+ 11)+ 8.$

Показать ответ и решение

Обозначим $f(x) = 2x − ln(x+ 11)+8.$

Найдем производную функции:

f′(x)= (2x− ln(x+ 11)+ 8)′ = ′ ′ ′ = (2x)− (ln(x+ 11) +(8) = --1-- --1-- 2x-+-21 = 2− x+ 11 + 0 =2 − x+ 11 = x+ 11

Легко видеть, что полученная дробь зануляется при $−21 x= -2--$ и не определена при $x= −11.$

Применим метод интервалов для определения знаков производной. Обе критические точки встречаются в нечетном числе множителей, следовательно, знак в них будет меняться.

$PIC$

В точке минимума функции её производная обнуляется и меняет знак с « $−$ » на « $+$ », так как до точки минимума функция убывала, а после — начала возрастать. Значит, $x =− 10,5$ — точка минимума функции $y = 2x − ln(x+ 11)+8.$

Ответ: -10,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#16753

Найдите точку минимума функции $y = 2x− ln(x− 3)+ 5.$

Показать ответ и решение

Заметим, что данная функция определена при $x> 3,$ поэтому далее будем рассматривать ее на промежутке $(3;+∞ ).$

Найдем критические точки заданной функции

f(x) =2x − ln(x− 3)+5

Для этого вычислим её производную:

f′(x)= (2x)′− (ln(x − 3))′+5′ = 1 2x − 7 = 2 − x−-3 + 0=-x−-3

Далее найдем нули производной:

f′(x)= 0 ⇒ 2x−-7 = 0 x− 3 2x − 7 = 0 ⇒ x= 3,5

Единственная критическая точка — это $x= 3,5,$ в этой точке производная меняет знак. Для того чтобы определить, является ли $x= 3,5$ точкой минимума, нужно определить знаки производной при $x< 3,5$ и $x> 3,5.$

Если $x > 3,5,$ то $f′(x)> 0,$ если $x < 3,5,$ то $f′(x)< 0.$ Значит, точка $x= 3,5$ является точкой минимума, так как в ней производная меняет знак с « $−$ » на « $+$ » при проходе слева направо.

Ответ: 3,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32447

Найдите точку минимума функции $y = 2x− ln(x+ 3)+ 7.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >− 3.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

1 y′ = 2− x+-3

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ x+ 3= 1 ⇔ x = −2,5 2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−3;−2,5)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (−2,5;+ ∞)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= −2,5$ является точкой минимума.

Ответ: -2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32449

Найдите точку минимума функции $y = 4x− 4ln(x +7).$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >− 7.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

4 y′ = 4− x+-7

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x + 7= 1 ⇔ x= − 6

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−7;−6)$ производная отрицательна, то есть функция $y =y(x)$ убывает. При $x∈ (−6;+∞ )$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= −6$ является точкой минимума.

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#32450

Найдите точку минимума функции $2 y = 2x − 5x + lnx − 3.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >0.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

1 4x2− 5x+ 1 y′ = 4x− 5+ x =----x-----

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ 4x2− 5x+ 1 =0 ⇔ x= 0,25;1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (0;0,25)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает. При $x ∈(0,25;1)$ производная отрицательна, то есть функция убывает. При $x∈ (1;+ ∞)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x = 1$ является точкой минимума.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#32451

Найдите точку максимума функции

2 y =2x − 5x+lnx− 3

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >0$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 1 4x2 − 5x+ 1 y = 4x − 5+ x =----x-----

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ 4x2− 5x+ 1= 0 ⇔ x= 0,25;1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (0;0,25)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x∈(0,25;1)$ производная отрицательна, то есть функция убывает; при $x∈ (1;+∞ )$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x =0,25$ является точкой максимума.

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#32452

Найдите точку максимума функции $y =ln(x+ 5)− 2x + 9.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >− 5.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

1 y′ = x+-5-− 2

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x+ 5 =0,5 ⇔ x= − 4,5

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−5;−4,5)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает. При $x∈ (−4,5;+∞ )$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= − 4,5$ является точкой максимума.

Ответ: -4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#32328

Найдите точку минимума функции

x−16 y =(x+ 16)⋅e

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ x−16 x−16 x−16 y= e +(x+ 16)e =e (x+ 17)

Найдем нули производной:

′ y = 0 ⇒ x= −17

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;−17)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (− 17;+∞ )$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= −17$ является точкой минимума.

Ответ: -17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#32329

Найдите точку максимума функции

x+9 y =(9− x)⋅e

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ x+9 x+9 x+9 y =− e + (9− x)e = e (8− x)

Найдем нули производной:

′ y = 0 ⇒ x= 8

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;8)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x ∈(8;+ ∞)$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= 8$ является точкой максимума.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#32331

Найдите точку минимума функции $3−x y = (3− x)⋅e .$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

y′ =− e3−x − (3− x)e3− x = e3−x(x− 4)

Найдем нули производной:

′ y =0 ⇒ x= 4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞; 4)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x ∈ (4;+∞ )$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= 4$ является точкой минимума.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#32332

Найдите точку максимума функции

16−x y =(x+ 16)⋅e

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 16−x 16−x 16−x y = e − (x +16)e = −e (x+ 15)

Найдем нули производной:

′ y = 0 ⇒ x= −15

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;−15)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x ∈(−15;+ ∞)$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= −15$ является точкой максимума.

Ответ: -15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#32333

Найдите точку минимума функции

2 x−36 y =(3x − 36x+ 36)⋅e

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ x−36 2 x−36 x−36 2 y = (6x− 36)e +(3x − 36x+ 36)e =e (3x − 30x)

Найдем нули производной:

′ 2 y = 0 ⇒ 3x − 30x= 0 ⇔ x =0;10

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;0)$ производная положительна, то есть функция $y =y(x)$ возрастает; при $x ∈(0;10)$ производная отрицательна, то есть функция убывает; при $x∈(10;+ ∞)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= 10$ является точкой минимума.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32334

Найдите точку максимума функции

2 x+36 y =(3x − 36x+ 36)⋅e

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ x+36 2 x+36 x+36 2 y = (6x− 36)e +(3x − 36x+ 36)e =e (3x − 30x)

Найдем нули производной:

′ 2 y = 0 ⇒ 3x − 30x= 0 ⇔ x =0;10

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;0)$ производная положительна, то есть функция $y =y(x)$ возрастает; при $x ∈(0;10)$ производная отрицательна, то есть функция убывает; при $x∈(10;+ ∞)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= 0$ является точкой максимума.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#32335

Найдите точку максимума функции $( ) y = x2 − 10x+ 10 ⋅e5−x.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна пересдача

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

y′ = (2x− 10)e5−x− (x2 − 10x +10)e5−x = = −e5−x(x2− 12x+ 20)

Найдем нули производной:

y′ = 0 x2− 12x+ 20= 0 x= 2;10

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞; 2)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x ∈(2;10)$ производная положительна, то есть функция возрастает; при $x∈ (10;+ ∞)$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x = 10$ является точкой максимума.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#32336

Найдите точку максимума функции

2 x−6 y = (x − 2) ⋅e

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ x−6 2 x− 6 x−6 2 y = 2(x − 2)e + (x− 2) e =e (x − 2x)

Найдем нули производной:

′ 2 y= 0 ⇒ x − 2x =0 ⇔ x= 0;2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;0)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x ∈(0;2)$ производная отрицательна, то есть функция убывает; при $x∈(2;+∞)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= 0$ является точкой максимума.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#32337

Найдите точку минимума функции

2 x−5 y = (x − 2) ⋅e

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ x−5 2 x− 5 x−5 2 y = 2(x − 2)e + (x− 2) e =e (x − 2x)

Найдем нули производной:

′ 2 y= 0 ⇒ x − 2x =0 ⇔ x= 0;2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;0)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x ∈(0;2)$ производная отрицательна, то есть функция убывает; при $x∈(2;+∞)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= 2$ является точкой минимума.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#32338

Найдите точку максимума функции

2 4−x y = (x +6) ⋅e

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 4−x 2 4− x 4−x 2 y= 2(x+6)e − (x+ 6)e = −e (x + 10x +24)

Найдем нули производной:

′ 2 y = 0 ⇒ x + 10x+24 =0 ⇔ x= −6;−4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;−6)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (− 6;− 4)$ производная положительна, то есть функция возрастает; при $x ∈(−4;+∞ )$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x = −4$ является точкой максимума.

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#32339

Найдите точку минимума функции

2 2−x y = (x +3) ⋅e

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2−x 2 2−x 2−x 2 y = 2(x +3)e − (x+ 3) e =− e (x +4x +3)

Найдем нули производной:

′ 2 y = 0 ⇒ x + 4x+3 =0 ⇔ x= −3;−1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;−3)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (− 3;− 1)$ производная положительна, то есть функция возрастает; при $x ∈(−1;+∞ )$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x = −3$ является точкой минимума.

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#32340

Найдите точку минимума функции

2 6−x y = (x − 8x+ 8)⋅e

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 6− x 2 6−x 6−x 2 y =(2x− 8)e − (x − 8x+8)e =− e (x − 10x+ 16)

Найдем нули производной:

′ 2 y = 0 ⇒ x − 10x+ 16= 0 ⇔ x= 2;8

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;2)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (2;8)$ производная положительна, то есть функция возрастает; при $x ∈(8;+∞)$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x =2$ является точкой минимума.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#32448

Найдите точку минимума функции $3 y = 3x− ln(x+ 3) .$

Показать ответ и решение

ункция определена при всех $x> − 3$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 3(x+ 3)2 3 y = 3− -(x-+3)3-= 3− x+-3-

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x+ 3 =1 ⇔ x= −2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−3;−2)$ производная отрицательна, то есть функция $y =y(x)$ убывает; при $x ∈ (− 2;+ ∞)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= − 2$ является точкой минимума.

Ответ: -2

12.06 Поиск точек экстремума у смешанных функций