Тема 13. Решение уравнений

13.12 Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#39636

а) Решите уравнение

6 +log2(4cosx)⋅log2(16sin2x) =log2(64cos3x)+ log2(256sin4x) .

 

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку [      ]
 − π-; 3π .
   2 2

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ:

{
 cosx >0
 sinx⁄= 0

Сделаем замену log (4 cosx)= t,
  2  log (16sin2 x)= m.
   2  Тогда уравнение примет вид

6+ tm = 3t+ 2m  ⇔   t(3− m)+ 2(m − 3) =0   ⇔   (t− 2)(3 − m )= 0

Таким образом, получаем

                      (| ⌊cosx = 1
[                     |||{ ⌈
 log2(4cosx2)= 2    ⇒      sinx = ±√12     ⇔   x= ± π-+2πn, n∈ ℤ
 log2(16sin x)= 3       |||| cosx > 0                 4
                      ( sinx ⁄=0

б) Отберем корни с помощью неравенств.

Первая серия решений:

− π-≤ − π-+ 2πn≤ 3π ⇔   − 1 ≤ n≤ 7  ⇒   n= 0  ⇒   x = − π
 2     4        2        8       8                     4

Вторая серия решений:

− π≤ π-+ 2πn≤ 3π   ⇔   − 3 ≤ n≤ 5  ⇒   n= 0  ⇒   x = π-
  2   4        2        8       8                    4
Ответ:

а) ± π+ 2πn, n∈ ℤ
  4

 

б)   π  π
− -4;4-

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!