Тема 13. Решение уравнений

13.07 Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#987

а) Решите уравнение $cosx− sinx + 1+ 2sinxcosx =0.$

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку $(−7π;−3π).$

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение к виду

cosx − sinx− (1− 2sinx cosx)+ 2= 0

Тогда по формуле сокращенного умножения $(sinx− cosx)2 = 1− 2sinx cosx$ можно записать:

−(sinx − cosx)− (sinx − cosx)2+ 2= 0

Сделаем замену переменной $t= sinx− cosx.$ Тогда уравнение примет вид

− t− t2+ 2 =0 ⇒ t2+ t− 2= 0 ⇒ t1 = −2, t2 =1

Сделаем обратную замену переменной.

1)

√- √- sinx− cosx= − 2 |:√2 ⇒ -2-sinx − -2cosx =− √2 ⇒ 2 2

( ) ⇒ sin xcos π− cosxsin π-=− √2 ⇒ sin x− π- = −√2 4 4 4

Так как область значений синуса — это отрезок $[−1;1],$ то данное уравнение не имеет решений, так как $- − √ 2< −1.$

2)

√ - √2- √2 √2 ( π) √2 sinx− cosx= 1 |: 2 ⇒ -2-sin x− -2-cosx= -2- ⇒ sin x − 4- = 2-- ⇒

⌊x− π-= π-+2πn, n∈ ℤ ⌊ π- ⇒ |⌈ 4 4 ⇒ ⌈x= 2 + 2πn, n ∈ℤ x− π-= 3π +2πm, m ∈ ℤ x= π +2πm, m ∈ ℤ 4 4

б) Отберем корни с помощью неравенств.

π 15 7 −7π < 2 + 2πn <− 3π ⇒ − 4-< n< − 4

Таким образом, среди целых чисел подходят только $n = −3;−2,$ при которых получаются корни $11π 7π x= −-2- ;− 2-.$

− 7π < π+ 2πm < −3π ⇒ −4< m < − 2

Таким образом, среди целых чисел подходит только $m = −3,$ при котором получается корень $x =− 5π.$

Ответ:

а) $π+ 2πn;π+ 2πm;n,m ∈ ℤ 2$

б) $− 11π ; −5π; − 7π 2 2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse