15.10 Смешанные неравенства

ОДЗ:

Покажем, что не подходят по ОДЗ:
зафиксируем произвольное , тогда . Существует , такое что

Положим , тогда что не подходит по ОДЗ. Таким образом, .
 
Также по ОДЗ не подходит , а подходят по ОДЗ, следовательно,
ОДЗ: На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

Так как на ОДЗ

то , следовательно,

Зафиксируем произвольный .
Докажем по индукции, что данное неравенство выполнено для всех :
 
1) :

– верно.
 
2) Рассмотрим произвольное , такое что , тогда таким образом, мы доказали, что рассматриваемый подходит. Так как мы фиксировали произвольный , то все являются решениями исходной задачи.