Тема 15. Решение неравенств

15.07 Метод рационализации

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1814

Решите неравенство

(x2-+-x-)lg(2x2 +-4x −-4)- lg(−-2x2 −-4x-+-4)2 |x + 2| ≥ x + 2 .

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( | 2x2 + 4x − 4 > 0 { √-- √-- | x + 2 ⁄= 0 ⇔ x ∈ (− ∞; − 1 − 3 ) ∪ (− 1 + 3; +∞ ). ( (− 2x2 − 4x + 4)2 > 0

Так как $(− a )2 = a2$ , то $(− 2x2 − 4x + 4)2 = (2x2 + 4x − 4)2$ .
Обозначим

2 A = 2x + 4x − 4,

тогда

2 2 (x--+-x-)lgA-- lg-A-- |x + 2| ≥ x + 2

Рассмотрим 2 случая:
1) $x + 2 > 0 ⇒ |x + 2 | = x + 2$ .

2 2 (x-+--x)lgA--−-2lgA--≥ 0 ⇔ (x--+-x-−-2)-lg-A-≥ 0. x + 2 x + 2

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

2 2 2 (x--+-x-−-2)(10-−-1)(A-−-1)-≥ 0 ⇔ (x-+--x −-2)(2x-+--4x −-5) ≥ 0 x + 2 ( ) ( x +)2 √ --- √ --- (x − 1)(x + 2) x + 1 + --14- x + 1 − --14- 2 2 ⇔ ----------------------------------------------- ≥ 0 x + 2

По методу интервалов:

$PIC$

откуда $[ √ --- ) ( √---] 14 14 x ∈ − 1 − -----;− 2 ∪ − 2;− 1 + ----- ∪ [1; +∞ ) 2 2$ .
Пересечем с условием $x + 2 > 0$ : $( √ ---] 14 x ∈ − 2;− 1 +----- ∪ [1;+ ∞ ) 2$

2) $x + 2 < 0 ⇒ |x + 2 | = − x − 2$ .

−-(x2-+-x)lg-A-−-2-lg-A- (x2-+-x-+-2)-lg-A- x + 2 ≥ 0 ⇔ x + 2 ≤ 0

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

(x2-+-x-+-2)(10-−-1)(A-−--1)- (x2-+-x-+-2)(2x2-+-4x-−-5) x + 2 ≤ 0 ⇔ x + 2 ≤ 0 ⇔ ( √ ---) ( √ --) (x2 + x + 2) x + 1 + --14- x + 1 − --14- 2 2 ⇔ --------------------------------------------- ≤ 0 x + 2

По методу интервалов:

$PIC$

откуда $( ] ( ] √14-- √14-- x ∈ − ∞; − 1 − ----- ∪ − 2;− 1 + ----- 2 2$ .
Пересечем с условием $x + 2 < 0$ : $( √---] x ∈ − ∞; − 1 − -14-- 2$ .
Объединенное решение двух случаев: $( √ ---] ( √ ---] x ∈ − ∞; − 1 − --14- ∪ − 2;− 1 + --14- ∪ [1;+ ∞ ) 2 2$ .
Пересечем ответ с ОДЗ: $( √ --] ( √ ---] x ∈ − ∞; − 1 − --14- ∪ − 1 + √3;-− 1 +--14- ∪ [1;+ ∞ ) 2 2$ .
Окончательный ответ

( √ ---] ( √ -- √ --] x ∈ − ∞; − 1 − --14- ∪ − 1 + 3;− 1 + --14- ∪ [1;+ ∞ ). 2 2

Ответ:

$( √ ---] ( √ --] --14- √ -- --14- − ∞; − 1 − 2 ∪ − 1 + 3;− 1 + 2 ∪ [1;+ ∞ )$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

15.07 Метод рационализации

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ