Тема 15. Решение неравенств

15.07 Метод рационализации

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2054

Решите неравенство

(                              )       (          )
 9x2+x−2 − (3x+2+ 1)⋅3x2+x−2+ 3x+2 ⋅logx2−3 3x2+2x+2− 2 ≥0
Показать ответ и решение

Рассмотрим выражение в первой скобке:

( x2+x−2  (x+2   )  x2+x− 2  x+2)
 9      − 3   + 1 ⋅3      +3

Сделаем замену t =3x2+x−2.  Тогда данное выражение преобразуется к виду

2  (x+2   )   x+2   2  x+2     x+2   (    x+2) (    x+2)  (   x+2)
t− 3   + 1 t+3   = t− 3  t−t+3   = t t− 3   − t− 3    =  t− 3   (t− 1)

Сделаем обратную замену:

(  2         ) ( 2       )
 3x +x−2− 3x+2   3x+x−2− 1

Тогда все неравенство примет вид

(  2         )(  2       )       (  2       )
 3x +x− 2− 3x+2  3x +x−2− 1 ⋅logx2−3 3x+2x+2− 2 ≥ 0

1) Найдем ОДЗ левой части:

(                      (         √ -   √ -            (          √-    √-
||{x2− 3 >0              |{x ∈(−∞; −  3)∪(  3;+ ∞)        |{ x∈ (−∞; − 3)∪ ( 3;+∞ )
 x2− 3 ⁄=1          ⇒    x ⁄= ±2                    ⇒     x⁄= ±2
||(3x2+2x+2 − 2 > 0       |(3x2+2x+2 >3log32                |( x2+ 2x+ 2> log32

Решим последнее неравенство отдельно:

 2                   2                         2                  2
x +2x+2 >log32  ⇒   x +2x+1 > log32−1  ⇒   (x+1) > log32− log33= log33

Заметим, что log3 23 <0,  следовательно, при любых x  выражение (x+ 1)2  будет больше отрицательного числа. То есть решением этого неравенства являются x ∈ℝ.

Таким образом, ОДЗ исходного неравенства:

                  √-   √ -
x ∈(−∞; −2)∪ (− 2;−  3)∪ ( 3;2) ∪(2;+ ∞ )

2) Перейдем к решению самого неравенства на ОДЗ.

Применим метод рационализации для первого множителя (скобки) и для второго множителя (логарифма): (x2+ x − 2 − 0)(x2+ x− 2− (x + 2))⋅(x2− 3− 1)(3x2+2x+2− 2− 1)≥ 0 ⇒

 

⇒   (x2+ x− 2)(x2 − 4)⋅(x2− 4)(x2+ 2x+ 2− 1)≥ 0 ⇒

 

⇒   (x− 1)(x+ 2)(x+ 2)(x − 2)⋅(x− 2)(x + 2)(x+ 1)2 ≥ 0 ⇒

 

               3     2      2
⇒   (x− 1)(x+ 2)(x− 2)(x+ 1) ≥ 0

 

Решим данное неравенство методом интервалов:
 
PIC

 

Таким образом, нам подходят точки x ∈(−∞; −2]∪ {−1}∪ [1;+∞ )  .

 

3) Пересечем полученный ответ с ОДЗ и получим:

x∈ (−∞; −2)∪(√3;2)∪ (2;+ ∞).
Ответ:

              √-
x ∈(−∞; −2)∪ ( 3;2)∪(2;+∞ )

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!