15.07 Метод рационализации

Выпишем ОДЗ неравенства:

Будем далее решать неравенство на ОДЗ (то есть как будто оно выполнено, а в конце решения полученный ответ пересечем с ОДЗ).

 

Предлагается сделать следующее: воспользоваться формулой , чтобы “перевернуть” логарифмы, тем самым у них станут одинаковые основания. НО! Данная формула верна только в том случае, когда (так как основание логарифма не может быть равно ).
Наше ОДЗ этого не учитывает. Следовательно, нужно рассмотреть два случая: когда “будущее” основание, то есть , равно , и когда не равно.

 

1) Пусть :

Сразу исключим значение , так как оно не входит в ОДЗ.
При остальных трех значениях числитель дроби нашего неравенства будет равен: Следовательно, вне зависимости от того, чему будет равен знаменатель (главное, чтобы не был равен нулю), вся дробь будет равна нулю. Так как нам нужно, чтобы эта дробь была больше или равна нулю, то данные три значения нам подходят.
Следовательно, их нужно будет включить в окончательный ответ.

 

2) Пусть . Следовательно, .
Тогда можно воспользоваться формулой : Можно применить метод рационализации для данного неравенства. Все множители вида заменяются на ; все множители вида заменяются на :

Полученное неравенство можно решить методом интервалов:

Таким образом, ответ: .

 

Теперь нужно объединить решения пунктов 1 и 2 и пересечь полученное множество с ОДЗ.
Получим окончательный ответ в неравенстве: