Тема 15. Решение неравенств

15.07 Метод рационализации

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86517

Решите неравенство

log4−x(x+-5)⋅logx+1(log210−-x)≤ 0. sinx ⋅logx(2x)

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства:

( |||4− x > 0 |||||4− x ⁄= 1 |||| |||||x +5 > 0 ||||x +1 > 0 |||| |||{x +1 ⁄= 1 ({x ∈ (0;0,5)∪(0,5;1)∪ (1;3)∪ (3;log 10) log2 10 − x > 0 ⇔ 2 ||||| (x ⁄= πn,n∈ ℤ ||||sin x⁄= 0 |||||x > 0 ||||x ⁄= 1 ||||| ||||2x >0 |(2x ⁄=1

Для нахождения окончательного промежутка. являющегося ОДЗ, необходимо сравнить $π$ и $log210.$

log210− π >0 ⇔ 10 − 2π > 0

Так как $π <3,2,$ то $π 5√- 2 < 8 2.$ Если $5√- 10− 8 2 >0$ верно, то и $log210− π >0$ верно.

10 ∨8√52- √5- 11 5∨4 2= 2 5 55∨ 211 3125 ∨2048

Таким образом, вместо $∨$ нужно поставить знак $> .$ Следовательно, $log210> π.$

Следовательно, ОДЗ неравенства:

x∈ (0;0,5)∪ (0,5;1) ∪(1;3)∪ (3;π) ∪(π;log210)

Решим неравенство на ОДЗ методом рационализации:

(4-− x-− 1)(x+-5−-1)(x-+1-− 1)(log210−-x−-1)≤ 0 sinx⋅(x− 1)(2x− 1) x(x− 3)(x + 4)(x− log 5) ---(x−-1)(2x−-1)sinx2-- ≤0

ОДЗ показывает, что $x+ 4> 0$ и $x > 0,$ поэтому можно разделить обе части неравенства на эти множители. Теперь неравенство равносильно

(⌊( ||| |{ (x−-3)(x-−-log25)≤ 0 (|⌊({ x∈ (0,5;1)∪ [log 5;3] ||||||||| (x − 1)(2x − 1) ||||||| 2 |||{||(( sin x> 0 |||{||(( 0< x < π |||{ (x−-3)(x-−-log25)≥ 0 ⇔ ||{ x∈ (−∞; 0,5)∪ (1;log 5]∪ [3;+∞ ) |||||⌈ (x − 1)(2x − 1) ||||⌈( 2 |||| |( sin x< 0 |||| π < x < log210 |||(x ∈О ДЗ |(x ∈О ДЗ

Получаем:

x ∈(0,5;1)∪ [log25;3)∪ (π;log210)

Ответ:

$(0,5;1)∪ [log 5;3)∪ (π;log 10) 2 2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse