Тема 15. Решение неравенств

15.06 Логарифмические неравенства с переменным основанием

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#502

Найдите все такие $x ∈ ℝ$ , которые являются решениями неравенства

log e + log e + ...+ log e ≥ 0 x (x+1) (x+N)

при любых $N ∈ ℕ.$

Показать ответ и решение

Зафиксируем произвольное $N ∈ ℕ$ .

ОДЗ:

( || x > 0 ||| ||| x ⁄= 1 |||{ x + 1 > 0 { x > 0 | x + 1 ⁄= 1 ⇔ x ⁄= 1 |||| ... ||| ||| x + N > 0 ( x + N ⁄= 1

На ОДЗ:

1 1 1 logx e + log(x+1)e + ...+ log(x+N )e ≥ 0 ⇔ ----+ ---------+ ...+ ---------- ≥ 0. lnx ln (x + 1) ln(x + N )

Рассмотрим отдельно случаи $x ∈ (0;1 )$ и $x ∈ (1;+∞ )$ .

1) $x ∈ (1;+ ∞ )$ , тогда

ln x > 0, ln(x + 1) > 0, ..., ln(x + N ) > 0,

следовательно,

1 1 1 ----+ ---------+ ...+ ---------- > 0. lnx ln (x + 1) ln(x + N )

Таким образом, все $x ∈ (1;+ ∞ )$ идут в ответ.

2) $0 < x < 1$ .
Так как искомые $x$ должны удовлетворять исходному неравенству при любых $N ∈ ℕ$ , то они должны удовлетворять ему и при $N = 1$ . Рассмотрим этот случай отдельно:

-1-- ----1---- lnx + ln(x + 1) ≥ 0

Так как $0 < x < 1$ , то $ln x < 0$ , а $ln(x + 1) > 0$ , следовательно, последнее неравенство равносильно неравенству

ln(x + 1) + ln x ≤ 0 ⇔ ln (x (x + 1)) ≤ ln 1 ⇔ x (x + 1) ≤ 1 ⇔ ⇔ x2 + x − 1 ≤ 0

По методу интервалов на $(0;1)$ :

$PIC$

Таким образом, $x ∈ (0; √5-−-1-] 2$ .

Для всякого $N ∈ ℕ$ , $N > 1$ при $( ] √5-− 1 x ∈ 0; ------- 2$ :

-1-- ---1----- ---1----- ----1----- lnx + ln (x + 1 ) ≥ 0, ln(x + 2) > 0, ..., ln (x + N ) > 0,

следовательно,

1 1 1 ----+ ---------+ ...+ ---------- ≥ 0, lnx ln (x + 1) ln(x + N )

то есть $( ] √ -- x ∈ 0;--5-−-1 2$ идут в ответ.

Так как мы рассмотрели все $x$ из ОДЗ, то других решений быть не может и окончательный ответ:

( √ -- ] x ∈ 0;--5-−-1 ∪ (1;+ ∞ ). 2

Ответ:

$( √ -- ] 0;0,5 5 − 0,5 ∪ (1; +∞ )$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

15.06 Логарифмические неравенства с переменным основанием

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ