15.06 Логарифмические неравенства с переменным основанием

Найдем ОДЗ для исходного неравенства:

Первое неравенство является следствием пятого, поэтому его можно опустить. Шестое неравенство входит в третье, поэтому его также можно исключить. Остаётся:

Первое неравенство верно для любого т.к. квадрат любого числа всегда неотрицательный, поэтому его можно отбросить. У четвертого неравенства то есть парабола не имеет пересечений с осью и всегда положительна. Поэтому остается только:

Так как у неравенства дискриминант равен
то решений у неравенства нет.

Итоговая ОДЗ:

Мы уже знаем, что квадратный трехчлен не имеет корней, то есть график параболы всегда находится над осью и всегда положителен. В соответствии с этим мы имеем право вынести из основания левого логарифма степень 2 и при этом не ставить модуль, так как при любом трехчлен принимает исключительно положительные значения.

Теперь решим неравенство с помощью метода рационализации:

Отметим нули функции на числовой прямой и применим метод интервалов:

Решением неравенства с учетом ОДЗ будет:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».