Тема 15. Решение неравенств

15.05 Логарифмические неравенства с числовым основанием

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#44954

Решите неравенство

lg4(x2− 4)2− lg2(x2− 4)4 ≥ 192

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства:

( { (x2 − 4)2 > 0 ( 2 4 ⇔ x2− 4 ⁄=0 ⇔ x⁄= ±2 (x − 4) > 0

Решим неравенство на ОДЗ. Сделаем замену $t=lg2(x2 − 4)2.$ Так как

lg2(x2− 4)4 = (2lg(x2 − 4)2)2 = 4lg2(x2− 4)2 = 4t,

то неравенство примет вид

t2− 4t− 192≥ 0 ⇔ t2− 4t− 12 ⋅16≥ 0 ⇔ ⌊ (t+12)(t− 16)≥ 0 ⇔ ⌈ t≤ −12 t≥ 16

Так как $t= (lg(x2− 4)2)2 ≥ 0,$ то неравенство $t≤ −12$ не имеет решений. Сделаем обратную замену:

(lg(x2− 4)2)2 ≥ 16 (∗) ⇔ ⌊ ⌈ lg(x2− 4)2 ≥4 lg(x2− 4)2 ≤− 4 ⇒ ⌊ (x2 − 4)2 ≥ 104 (∗) ⌈ (x2 − 4)2 ≤ 10−4 (∗∗) ⇔ ⌊ x2− 4≥ 100 || 2 |⌈ x − 4≤ −100 ⇔ −0,01≤ x2− 4≤ 0,01 ⌊ | x2 ≥ 104 (∗) || x2 ≤ −96 (не имеет решений) ⇔ ⌈ 2 3,99 ≤x ≤4,01 (∗ ∗∗) ⌊ x≥ 2√26 || √ -- || x≤ −2 26 || −√4,01≤ x ≤ −√3,99 ⌈ √---- √ ---- 3,99≤ x≤ 4,01

P.S.

$(∗)$ Решением неравенства вида $x2 ≥ A2$ служат $x ≥ A$ и $x≤ −A;$

$(∗∗)$ решением неравенства вида $x2 ≤ B2$ служат $− B ≤ x≤ B;$

$(∗∗∗)$ решением неравенства вида $A2 ≤x2 ≤ B2$ служат $− B ≤ x≤ − A$ и $A ≤ x≤ B.$

Пересекая полученное множество решений с ОДЗ, получим окончательный ответ:

x∈ (−∞;− 2√26]∪ [−∘4,-01;− 2)∪ (− 2;− ∘3,99]∪ [∘3,99;2)∪(2;∘4,01]∪[2√26;+ ∞).

Ответ:

$(−∞; −2√26]∪ [− √4,01;− 2)∪(−2;−√3,99]∪ [√3,99;2)∪(2;√4,01]∪ [2√26;+ ∞ )$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse