.00 №17 из ЕГЭ 2024
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На серединах сторон 
и 
остроугольного треугольника 
отмечены точки 
и 
соответственно.
a) Докажите, что окружность, описанная около треугольника 
проходит через отличную от 
точку пересечения описанных окружностей
треугольников 
и 
б) Известно, что 
Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника с вершинами в центрах вписанных окружностей
треугольников 
и 
Источники:
а) Пусть 
— отличная от 
точка пересечения окружностей, описанных около
треугольников 
и 
Тогда имеем:
Тогда
Значит,
Тогда в четырехугольнике 
Сумма углов треугольника 
равна 
поэтому
Таким образом, сумма противоположных углов четырехугольника 
равна 
следовательно, он вписанный. Значит, описанная окружность
треугольника 
проходит через точку 
пересечения описанных
окружностей треугольников 
и 
б) Пусть 
— центр вписанной окружности треугольника 
—
центр вписанной окружности треугольника 
— центр вписанной
окружности треугольника 
Кроме того, 
— средние линии треугольника 
Тогда
имеем:
Значит, треугольники 
равны по трем сторонам. В
равных треугольниках соответственные элементы равны, поэтому 
и
Тогда отрезки 
и 
равны и параллельны.
Следовательно, 
— параллелограмм. Тогда
Аналогично докажем, что 
и 
Тогда треугольник 
подобен треугольнику 
с коэффициентом
Значит, радиус описанной окружности 
в 2 раза меньше радиуса
описанной окружности 
По условию в треугольнике 
стороны 
и 
равны, то
есть он равнобедренный. Косинус угла при основании равнобедренного
треугольника равен отношению половины основания к боковой стороне,
поэтому
Тогда получаем
Значит, по теореме синусов для треугольника 
с радиусом 
описанной
окружности:
Тогда радиус описанной окружности треугольника 
равен 
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
