.00 №18 из ЕГЭ 2025

Для начала заменим для удобства на

Пусть левая часть уравнения — функция

Пусть правая часть уравнения — функция

Так как уравнение останется прежним, если заменить на то можем решать задачу для а затем добавить в ответ все значения противоположного знака.

Нарисуем графики этих функций в осях

Функция четная, убывает при и возрастает при При функция принимает значение

Рассмотрим функцию

Ее модули обнуляются при и Так как мы рассматриваем то

Тогда, раскрыв модули, получаем:

Это «корыто» с ветвями вверх, дно которого лежит на прямой Заметим, что также четна:

При этом так как ветви корыта лежат на фиксированных прямых, то при изменении параметра его дно двигается вверх/вниз, а границы дна «скользят» по этим фиксированным прямым.

Итак, нарисуем оба графика и изобразим граничные положения. Так как обе функции четны, то рисунок будет симметричен относительно оси

При вершина функции находится в точке а корыто принимает вид

то есть представляет собой галочку.

Получаем следующую картинку:

Заметим, что в таком случае получается 3 решения, то есть нам не подходит.

Далее вершина графика находится в точке а дно корыта лежит на прямой Поймем, когда вершина будет ниже дна корыта, а когда выше:

Таким образом, при вершина ниже дна при лежит на дне, при выше дна.

Когда вершина находится ниже дна корыта то очевидно при будет пересечение и а так как рисунок симметричен относительно то и при будет пересечение. Тогда решений будет как минимум 2, то есть значения нам не подходят.

Нарисуем случай Как мы уже поняли, в этом случае вершина лежит на дне корыта

Поймем, что в этом случае правая ветвь не имеет пересечений с правой ветвью корыта Действительно, во-первых, во-вторых, при функция возрастает быстрее, чем правая ветвь

Таким образом, в данном случае при графики не пересекаются и, в силу симметрии, не пересекаются и при То есть при одна точка пересечения значит, это значение параметра подходит.

При вершина выше дна корыта Поймем, что в данном случае решений уже не будет. Так как вершина выше дна корыта то не пересекает дно корыта Покажем, что при не пересекает правую ветвь корыта

Действительно, во-первых, во-вторых, при функция возрастает быстрее, чем правая ветвь

Таким образом, в данном случае при графики не пересекаются и, в силу симметрии, не пересекаются и при То есть при пересечений вовсе нет, значит, эти значения параметра подходят.

Объединяя подходящие значения, и добавив значения, противоположные по знаку, получаем:

Так как получаем в итоге: