Тема . Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет

.00 №18 из ЕГЭ 2025

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи №18 из егэ прошлых лет
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125900

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых уравнение

  (   4)2    (    4)
a  x+ x   + 2 x + x − 25a+ 10= 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Сделаем замену y = x+-4.
      x  Получим уравнение

 2
ay +2y − 25a+ 10= 0.

Проанализируем замену:

         4
  y = x+ x
       2
 2yx= x + 4
x − yx+ 4= 0
 D = y2− 16

Таким образом, при y = ±4  будет ровно одно решение по x,  а при |y|> 4  будет два решения по x.  При этом решения будут отличны от 0, так как  2
0 − y⋅0 +4 ⁄= 0.

Проанализируем уравнение, получившееся после замены.

Рассмотрим отдельно случай a =0 :

2y+ 10= 0
 y = −5

Так как |− 5|>4,  то при a = 0  исходное уравнение имеет два корня. Следовательно, a = 0  нам подходит.

При a⁄= 0  рассмотрим дискриминант квадратного относительно y  уравнения ay2+ 2y− 25a+ 10= 0.

D = 4− 4⋅a⋅(−25a+ 10)=
   = 4+ 100a2− 40a =
      2            2
= (10a)− 2 ⋅10a⋅2 +2  =
      = (10a − 2)2.
  • Если D = 0,  то есть     1
a = 5,  то

        -2    -1
y = −2a = −a = −5.

    Так как |− 5|> 4,  то при    1
a= 5  исходное уравнение имеет два корня. Следовательно, a= 1
   5  нам подходит.

  • Если D > 0,  то уравнение будет иметь два корня:

    y1 = −2-+10a-− 2-= 5a−-2;
        2a         a
y2 = −2-− 10a-+2-= −5.
        2a

    Таким образом, корень y2 = −5  обеспечит два решения по x  для уравнения y = x+ 4 .
      x  Значит, чтобы исходное уравнение имело ровно два решения, корень y
 1  по модулю должен быть меньше 4. Следовательно,

              |y1|< 4
        ||     ||
        ||5a−-2||< 4
           a
       (5a-− 2)2   2
          a     < 4
     (      )2
       5a−-2  − 42 < 0
         a
( 5a−-2   ) (5a−-2   )
    a  − 4     a   +4  < 0
  5a− 2− 4a 5a − 2 +4a
  ----a----⋅----a---- < 0

      a-− 2 ⋅ 9a−-2 <0
        a  (  a  )
     (a− 2) a− 2
     ----------9-- <0
           a2

    По методу интервалов:

    2
a092+−++

    Таким образом,

        (2  )
a ∈  9;2 .

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

   {  1}  ( 2  )
a∈  0;5  ∪  9;2 .
Ответ:

   {    }  (   )
a ∈  0; 1 ∪ 2 ;2
       5    9

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!