.00 №18 из ЕГЭ 2025

Пусть

Исследуем замену, то есть функцию Для этого найдем нули подмодульных выражений:

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра Заметим, что поэтому при любом значении параметра верно, что

У выражения есть три возможных случая раскрытия модулей:

• Если то

  

• Если то

  

• Если то

  

Построим эскиз графика этой функции:

Таким образом,

• если то у уравнения ровно два решения;
• если то у уравнения бесконечно много решений;
• если то у уравнения нет решений.

По условию от исходного уравнения требуется ровно два решения. Так как замена либо дает два и более решений, либо не дает их вовсе, то необходимо, чтобы уравнение которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее и никакое решение уравнения не было бы равно

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий:

• уравнение имеет два корня и такие, что ;
• уравнение имеет один корень

Пусть

Рассмотрим первый случай. Так как коэффициент перед положителен, то функция задает параболу с ветвями вверх.

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение расположено между ними, равносильно условию

Отсюда получаем при этом условие заведомо выполнено.

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение имело один корень, необходимо потребовать

Тогда подходят, так как при данных значениях параметра единственный корень уравнения будет больше, чем

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при