Тема . Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет

.00 №18 из ЕГЭ 2025

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи №18 из егэ прошлых лет
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125961

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых уравнение

(||   2||       )2   (||   2||       )    2
 x − a + |x +1|  − 7 x − a + |x +1| + 4a +4 = 0

имеет ровно два различных решения.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

Пусть

   ||   2||
y = x − a + |x+ 1|.

Исследуем замену, то есть функцию y = ||x− a2||+|x+ 1|.  Для этого найдем нули подмодульных выражений:

x− a2 = 0    x + 1= 0
 x = a2        x = −1

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра a.  Заметим, что a2 ≥ 0,  поэтому при любом значении параметра a  верно, что  2
a > − 1:

У выражения ||    2||
x − a + |x+ 1| есть три возможных случая раскрытия модулей:

x−a−−−+++21

  • Если x ≤− 1,  то

             2              2
y = −x + a − x − 1= −2x +a − 1.
  • Если − 1 < x< a2,  то

        2             2
y =a  − x + x+ 1= a + 1.
  • Если a2 ≤ x,  то

    y =x − a2+x + 1= 2x− a2+ 1.

Построим эскиз графика этой функции:

0xy−a2yyy1===−2ax22x−+ +a1a22+−1 1

Таким образом,

  • если y > a2+ 1,  то у уравнения y = ||x − a2||+ |x + 1| ровно два решения;
  • если y = a2+ 1,  то у уравнения    |     |
y = |x− a2|+|x+ 1| бесконечно много решений;
  • если     2
y < a + 1,  то у уравнения    |    2|
y = |x− a |+|x+ 1| нет решений.

По условию от исходного уравнения требуется ровно два решения. Так как замена либо дает два и более решения, либо не дает их вовсе, то необходимо, чтобы уравнение y2− 7y+ 4a2+ 4= 0,  которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее a2 +1,  и никакое решение уравнения не было бы равно  2
a + 1.

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий:

  • уравнение имеет два корня y1  и y2  такие, что y1 < a2+1 < y2  ;
  • уравнение имеет один корень y0 > a2+ 1.

Пусть f(y)= y2− 7y+ 4a2+ 4.

Рассмотрим первый случай. Так как коэффициент перед y2  положителен, то функция f  задает параболу с ветвями вверх.

yyya122+ 1

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение a2+ 1  расположено между ними, равносильно условию f (a2 +1) <0 :

          ( 2   )
         f a + 1 < 0
(a2+ 1)2− 7(a2 +1)+ 4a2+ 4< 0
a4+ 2a2+ 1− 7a2 − 7 +4a2+ 4 <0
         4   2
      ( a − a)(− 2<)0
       a2− 2  a2 +1  <0

Так как  2
a + 1  > 0 для всех a,  то

      2
(    a)−(2< 0 )
 a− √2   a+ √2  < 0

Отсюда получаем        -  -
a∈ (−√ 2;√ 2),  при этом условие D > 0  заведомо выполнено.

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение y2− 7y+ 4a2+ 4= 0  имело один корень, необходимо потребовать D = 0:

    49 − 4(4a2+ 4)= 0
        2
    − 16a − 16+ 49= 0
          2  33
         a = 16
             √--
        a= ± -33-
              4
y0 = 7 > a2 +1 = 33+ 1= 49
    2          16     16

Убедимся, что 7 > 49 :
2   16

   7  49
   2 ∨ 16
7 ⋅16 ∨49⋅2
  112> 98

Тогда      √ --
     --33
a = ± 4  подходят, так как при данных значениях параметра единственный корень уравнения будет больше 2
a +1.

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при

                 √--
   ( √ - √-)  {  -33}
a∈  −  2; 2 ∪  ±  4   .
Ответ:

              {  √--}
a ∈(− √2;√2)∪  ± -33-
                  4

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!