.00 №18 из ЕГЭ 2025

Пусть

Исследуем замену, то есть функцию Для этого найдем нули подмодульных выражений:

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра Заметим, что при любом значении параметра верно, что

У выражения есть три возможных случая раскрытия модулей:

• Если то

  

• Если то

  

• Если то

  

Построим эскиз графика этой функции:

Таким образом,

• если то у уравнения ровно два решения;
• если то у уравнения бесконечно много решений;
• если то у уравнения нет решений.

По условию от исходного уравнения требуется ровно два решения. Так как замена либо дает два и более решений, либо не дает их вовсе, то необходимо, чтобы уравнение которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее 2, и при этом никакое решение уравнения не было бы равно 2.

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий:

• уравнение имеет два корня и такие, что
• уравнение имеет один корень

Пусть

Рассмотрим первый случай. Так как коэффициент перед положителен, то функция задает параболу с ветвями вверх.

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение 2 расположено между ними, равносильно условию

Отсюда получаем при этом условие заведомо выполнено.

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение имело один корень, необходимо потребовать

• Если то тогда условие не выполняется.

  Значит, не подходит.

• Если то тогда условие выполняется:

  

  Значит, подходит.

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при