.00 №18 из ЕГЭ 2025

Пусть

Исследуем полученную функцию. Для этого найдем нули подмодульных выражений:

Раскроем модули. Для этого поймем, как располагаются на числовой оси нули подмодульных выражений в зависимости от значений параметра

Рассмотрим три случая: и

• При получаем, что Тогда имеем

  

  Раскроем модуль:

  

  • Если то получаем

    

  • Если то получаем

    

  Построим эскиз графика этой функции при

  

  Таким образом,

  • если то у уравнения нет решений;
  • если то у уравнения бесконечно много решений;
  • если то у уравнения ровно одно решение.

• При получаем, что Тогда у выражения есть три возможных случая раскрытия модулей:

  

  • Если то

    

  • Если то

    

  • Если то

    

  Построим эскиз графика этой функции:

  

  Таким образом,

  • если то у уравнения нет решений;
  • если то у уравнения бесконечно много решений;
  • если то у уравнения ровно одно решение.

• при получаем, что Тогда у выражения есть три возможных случая раскрытия модулей:

  

  • Если то

    

  • Если то

    

  • Если то

    

  Построим эскиз графика этой функции:

  

  Таким образом,

  • если то у уравнения нет решений;
  • если то у уравнения бесконечно много решений;
  • если то у уравнения ровно одно решение.

По условию от исходного уравнения требуется ровно одно решение. Так как замена либо дает одно и более решений, либо не дает вовсе, то необходимо, чтобы уравнение которое мы получили после замены, имело ровно одно решение, большее и при этом никакое решение не равнялось

Тогда от уравнения нужно потребовать одно из следующих условий:

• уравнение имеет два корня и такие, что ;
• уравнение имеет ровно один корень

Пусть

Рассмотрим первый случай. Так как коэффициент перед положителен, то функция задает параболу с ветвями вверх.

Тогда то, что уравнение имеет два корня, а значение расположено между ними, равносильно условию

Отсюда получаем при этом условие заведомо выполнено.

Рассмотрим второй случай. Чтобы уравнение имело ровно один корень, необходимо потребовать

При имеем:

Значит, не подходит.

При имеем:

Значит, подходит.

Тогда исходное уравнение имеет ровно одно решение при