.00 №18 из ЕГЭ 2024

Рассмотрим второе уравнение системы:

Оно задает окружность с центром в точке радиуса 5.

Рассмотрим первое уравнение системы:

При первое уравнение не имеет решений, так как сумма модулей всегда неотрицательна.

При совокупность, равносильная первому уравнению, задает точку а при задает ромб:

Определим положения ромба, при которых он пересекает окружность ровно в двух точках.

Нам подходят все ромбы до положения 1 (то есть верхняя вершина ромба лежит ниже верхней точки окружности), а также положение 2 (верхние стороны ромба касаются окружности).

Верхняя вершина ромба имеет координаты верхняя точка окружности имеет координаты Следовательно, положениям ниже положения 1 соответствуют следующие значения параметра:

Заметим, что в силу симметрии чертежа относительно оси ординат если левая верхняя сторона ромба касается окружности, то и правая верхняя тоже ее касается. Следовательно, достаточно записать условие касания окружности с любой из этих сторон. Правая верхняя сторона задается уравнением

Условие касания этой стороны и окружности (при условии ):

Следовательно, исходная система имеет ровно два различных решения при