19.22 Оценка + пример

Каждый слон простреливает целиком любую диагональ, на которой он находится. Найдём количество попарно параллельных диагоналей на Ваниной доске. Их . Таким образом, количество слонов не может превышать (иначе какие-то два слона оказались бы на одной диагонали и били бы друг друга).

Можно ли расставить слонов так, чтобы условие задачи было выполнено? Заметим, что слон, стоящий на чёрной клетке, ходит только по чёрным клеткам, а слон, стоящий на белой клетке, ходит только по белым клеткам. Если можно расставить слонов, то найдутся не менее слонов, стоящих на клетках одного цвета (пусть для примера это будет чёрный цвет). Но тогда можно поставить и слонов на белые клетки, для этого достаточно вертикально приподнять всех слонов, стоящих на чёрных клетках, затем повернуть под ними доску на (вокруг точки пересечения диагоналей квадратной доски) и опустить слонов.

Если слоны, стоявшие до поворота доски на чёрных клетках, не били друг друга, то и после поворота доски они не будут бить друг друга. При этом слоны, стоящие на чёрных клетках, никак не связаны со слонами, стоящими на белых клетках (“они живут в разных мирах”). Тогда можно поставить на доску не менее чёрных слонов и не менее белых слонов так, что все они не будут бить друг друга, но такого быть не может, следовательно, наше предположение неверно и на такой доске можно расставить не более слонов так, чтобы они не били друг друга.

слонов можно расставить, например, так: ставим слонов в каждую клетку верхней горизонтали, затем в каждую клетку нижней горизонтали, кроме угловых.