Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Вероятность как отношение "подходящих" исходов ко всем исходам

Тема 4. Введение в теорию вероятностей

4.02 Вероятность как отношение "подходящих" исходов ко всем исходам

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела введение в теорию вероятностей

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#47415

Вероятность того, что новый принтер в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,097. В некотором городе из 1000 проданных принтеров в течение года в мастерские по гарантии поступила 101 штука. На сколько отличается частота события «принтер поступил в гарантийный ремонт» от вероятности этого события?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 25

Показать ответ и решение

Частота события «попадание принтера в гарантийный ремонт» равна отношению числа поступивших в ремонт принтеров к числу всех принтеров, то есть равна

101- 1000 = 0,101.

Это число отличается от числа 0,097 на 0,004.

Варианты правильных ответов:

0,004
-0,004

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#51639

На клавиатуре телефона расположены 10 цифр от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет четной и меньше 7?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 33

Показать ответ и решение

Четных цифр от 0 до 7 — четыре:

0, 2, 4, 6.

Следовательно, искомая вероятность равна

4 p= 10 = 0,4.

Ответ: 0,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#45216

Из множества натуральных чисел от 56 до 80 (включительно) наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 4?

Источники: Сборник И.В. Ященко 2025 г. Вариант 34

Показать ответ и решение

Пусть $4k$ — число, делящееся на 4, $k ∈ ℤ.$ Определим количество чисел от 56 до 80, делящихся на 4. По условию имеем:

56≤ 4k ≤80 14 ≤ k ≤ 20

Следовательно, таких чисел $20 − 14+ 1 =7 :$

56, 60, 64, 68, 72, 76, 80

Всего от 56 до 80 ровно $80− 56 +1 = 25$ чисел.

Тогда вероятность, что случайно выбранное число делится на 4, равна

7- p = 25 = 0,28.

Ответ: 0,28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#18606

В фирме такси в наличии 45 легковых автомобилей. Из них 18 чёрного цвета с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

Показать ответ и решение

Всего автомобилей желтого цвета с черными надписями будет

45− 18 = 27

Вероятность того, что такая машина приедет на вызов, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов. Всего исходов — 45, благоприятных — 27.

Тогда искомая вероятность равна

27 = 3 = 0,6 45 5

Ответ: 0,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#19484

В соревнованиях по лёгкой атлетике участвуют 6 спортсменов из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Словении и 8 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Словении.

Показать ответ и решение

Всего в соревнованиях принимают участие $6+ 7+ 9+ 8= 30$ спортсменов. Последним мог выступать только один из 30 спортсменов, и каждый спортсмен с одинаковой вероятностью мог выступать последним.

Тогда вероятность того, что последним будет выступать спортсмен из Словении, равна отношению количества спортсменов из Словении к общему количеству спортсменов, то есть

9- = 3-= 0,3 30 10

Ответ: 0,3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#21441

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Дании, 6 из Швеции, 4 из Норвегии и 7 из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Норвегии.

Показать ответ и решение

Общее количество спортсменов, принимающих участие в соревнованиях, равно

3 + 6+ 4+ 7= 20

Последним мог выступать только один из 20 спортсменов, и все спортсмены с одинаковыми вероятностями могли выступать последними.

Тогда вероятность того, что последним будет выступать спортсмен из Норвегии, равна

-4 = 1 = 0,2 20 5

Ответ: 0,2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#24

В случайном эксперименте бросают две правильные игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Так как вероятности выпадения любой пары очков в эксперименте одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества исходов, в которых в сумме получается 3 очка, к количеству всевозможных исходов. Набрать 3 очка можно только двумя способами: $(2;1)$ и $(1;2).$

Количество всевозможных исходов эксперимента равно количеству всевозможных различных пар $(a;b),$ где $a$ и $b$ принимают значения 1, 2, 3, 4, 5 или 6.

Количество всевозможных исходов эксперимента равно 36.

Вероятность суммарного выпадения 3 очков равна

2-= 0,0(5) 36

После округления окончательный ответ становится $0,06.$

Замечание: пары $(a;b)$ и $(b;a)$ при $a⁄= b$ – разные. В самом деле, в условии задачи ничего не изменилось бы, если бы было сказано, что первая кость – красная, а вторая – синяя. Но в таком случае разница была бы очевидна.

Ответ: 0,06

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#25

В кинопрокате показывают 3 боевика и 7 мелодрам. Максим выбирает, на какой сеанс пойти, случайным образом. Какова вероятность того, что он пойдет на мелодраму?

Показать ответ и решение

В кинопрокате показывают 10 фильмов, из них 7 мелодрам, следовательно, вероятность того, что Максим случайно выберет мелодраму, равна

-7 p= 10 = 0,7

Ответ: 0,7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#26

Согласно учебному плану, Антону нужно сдать 3 спецкурса. Он выбирает 3 спецкурса случайным образом из 4 возможных: спектральная теория, теория операторов, теория групп, группы Ли. Какова вероятность того, что он выберет спецкурсы по спектральной теории, теории групп и группам Ли?

Показать ответ и решение

Выбрать 3 спецкурса из 4 — это то же самое, что не выбрать 1 из 4. Так как вероятности выбора каждого спецкурса одинаковы, то вероятность не выбрать теорию операторов равна

1 4 = 0,25

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#27

В коробке 4 красных, 2 синих и 4 зеленых шара. Азат наугад достает один шар. Какова вероятность того, что этот шар красный?

Показать ответ и решение

Так как вероятности выбора любого шара одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества красных шаров к общему количеству шаров в коробке. Вероятность того, что вытащенный шар будет красный равна

---4--- = 0,4 4 +2 +4

Ответ: 0,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#28

В коробке 15 шоколадных конфет, 4 карамели и 1 грильяж. Ваня наугад выбирает одну конфету. Какова вероятность того, что эта конфета окажется грильяжем?

Показать ответ и решение

Так как вероятности выбора любой конфеты одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества грильяжей к общему количеству конфет в коробке. Вероятность того, что вытащенная конфета окажется грильяжем равна

----1--- = 0,05 15 +4 +1

Ответ: 0,05

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#29

У Андрея есть 10 томов стихов. Он прочёл первые 3 тома и последние 2. Известно, что слово «каша» встречается в этих 10 томах 32 раза, при этом в первых 3 томах оно встречается 19 раз, а в последних 2 томах оно встречается 12 раз. Какова вероятность того, что выбранный наугад том стихов будет не прочитан Андреем и в нём встретится слово «каша»?

Показать ответ и решение

Всего Андрею слово «каша» встречалось $19+ 12= 31$ раз, следовательно, в томах, которые он ещё не читал, оно встречается ещё $32 − 31 =1$ раз, то есть содержится только в одном томе. Иными словами, только 1 том удовлетворяет условию задачи. Вероятность того, что случайным образом будет выбран именно он, равна

1-= 0,1 10

Ответ: 0,1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#634

Даня придумал себе 100 уравнений. Он заметил, что среди придуманных им уравнений: 41 квадратное, 72 он умеет решать, 31 кубическое, 22 тригонометрических. Известно, что Даня умеет решать любые квадратные уравнения и любые кубические уравнения и что придумал он только квадратные, кубические, тригонометрические и логарифмические уравнения. Какова вероятность того, что выбранное наугад уравнение окажется логарифмическим, причём Даня не сможет его решить?

Показать ответ и решение

Заметим, что квадратных и кубических уравнений Даня придумал $41 + 31 = 72$ . Так как он умеет решать любые квадратные и кубические уравнения, причём среди придуманных уравнений он умеет решать 72 уравнения, то все тригонометрические и все логарифмические уравнения, которые он придумал, он решать не умеет.

Таким образом, условие “выбранное наугад уравнение окажется логарифмическим, причём Даня не сможет его решить” равносильно условию “выбранное наугад уравнение окажется логарифмическим”.

Всего Даня придумал $100 − 41 − 31 − 22 = 6$ логарифмических уравнений из 100, следовательно, вероятность выбрать наугад логарифмическое уравнение равна

6 ---- = 0,06. 100

Ответ: 0,06

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#635

В книге 250 страниц. Ваня прочитал первые 150 страниц и последние 10. При этом известно, что слово “дуэль” встречается в книге 141 раз, причём на первых 150 страницах оно встречается 99 раз, на последних 10 страницах оно встречается 42 раза. Какова вероятность того, что наугад выбранная Ваней страница окажется непрочитанной и на ней не окажется слова “дуэль”?

Показать ответ и решение

Заметим, что слово “дуэль” уже встречалось Ване $99 + 42 = 141$ раз из 141 возможных раз, то есть на оставшихся страницах книги его нет, тогда условие “наугад выбранная Ваней страница окажется непрочитанной и на ней не окажется слова дуэль” равносильно условию “наугад выбранная Ваней страница окажется непрочитанной”.

Всего Ваня не прочитал $250 − 150 − 10 = 90$ страниц из 250 страниц этой книги, следовательно, вероятность выбрать наугад непрочитанную страницу равна

-90- = 0,36. 250

Ответ: 0,36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#942

В случайном эксперименте подбрасывают правильную монету. Какова вероятность того, что за три подбрасывания выпадет ровно два орла или три решки?

Показать ответ и решение

Перечислим всевозможные исходы, которые нас устроят:

(O,O,P) (O,P,O) (P,O,O) (P,P,P )

Всего подходящих нам исходов 4, а количество всевозможных исходов равно

2⋅2⋅2= 8

Таким образом, искомая вероятность равна

p = 4 = 1= 0,5 8 2

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1001

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 8 спортсменов из Аргентины, 6 спортсменов из Бразилии, 5 спортсменов из Парагвая и 6 – из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Аргентины.

Показать ответ и решение

Заметим, что вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Аргентины, такая же, как вероятность, что он будет выступать первым, вторым, третьим и т.п.
Всего претендентов на последнее место: $8 + 6 + 5 + 6 = 25$ спортсменов. Нам удовлетворяют лишь 8 из Аргентины. Следовательно, вероятность равна отношению количества удовлетворяющих исходов к количеству всех:

8--= 0,32. 25

Ответ: 0,32

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1217

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 55 докладов — они распределены поровну между всеми днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Показать ответ и решение

На каждый день конференции запланировано $55 :5= 11$ докладов. Таким образом, всего имеется 55 вариантов, когда может прозвучать доклад профессора М., из которых нам подходят лишь 11, следовательно, вероятность равна

11 1 55 = 5 = 0,2

Ответ: 0,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1316

Из множества натуральных чисел от 21 до 30 наугад выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3 или на 13?

Показать ответ и решение

Так как вероятности выбора любого числа из данного множества одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества чисел из данного множества, которые делятся на 3 или на 13, к количеству всевозможных чисел из данного множества.

В данном множестве на 3 или на 13 делятся: 21, 24, 26, 27, 30. Всего в множестве натуральных чисел от 21 до 30 имеется 10 чисел, тогда вероятность того, что наугад взятое из них делится на 3 или на 13 равна

-5- = 0,5. 10

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1317

Из множества натуральных чисел от 1 до 100 наугад выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 15 или на 10?

Показать ответ и решение

Так как вероятности выбора любого числа из данного множества одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества чисел из данного множества, которые делятся на 15 или на 10, к количеству всевозможных чисел из данного множества.

В данном множестве на 15 или на 10 делятся: 10, 15, 20, 30, 40, 45, 50, 60, 70, 75, 80, 90, 100. Всего в множестве натуральных чисел от 1 до 100 имеется 100 чисел, тогда вероятность того, что наугад взятое из них делится на 15 или на 10 равна

-13- = 0,13. 100

Ответ: 0,13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1318

В коробке лежат 4 синих, 7 красных, 6 зеленых и 3 желтых карандаша. Миша наугад достает один карандаш. Какова вероятность того, что этот карандаш синий или красный?

Показать ответ и решение

Так как вероятности выбора любого карандаша из данного множества одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение суммарного количества синих и красных карандашей к общему количеству карандашей в коробке.

Вероятность того, что наугад взятый карандаш окажется синим или красным равна

7 + 4 -------------= 0,55. 7 + 4 + 6 + 3

Ответ: 0,55

Предыдущий раздел

Следующий раздел