Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.01 Треугольник: внутренние и внешние углы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1389

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠B = 73∘,$ $AB = BC.$ Найдите $∠C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠A = ∠C

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$ то

∘ ∘ ∘ 180 = 73 +∠A + ∠C = 73 + 2⋅∠A,

откуда

∘ 2⋅∠A = 107

Тогда

∘ ∠A = 53,5

Ответ: 53,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1391

В треугольнике $ABC :$ $∠B =39∘,$ $AB = BC.$ Найдите внешний угол при вершине $A.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠BAC = ∠C

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$ то

180∘ = 39∘+∠A + ∠C = 39∘+ 2∠C

Отсюда получаем

2∠C = 141∘

Тогда

∠C = 70,5∘

По теореме о внешнем угле треугольника

∠A внеш = ∠B +∠C

Тогда искомый угол равен

39∘+ 70,5∘ = 109,5∘

Ответ: 109,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1392

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC,$ внешний угол при вершине $B$ равен $138∘.$ Найдите $∠C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Согласно теореме о внешнем угле треугольника,

∘ ∠A + ∠C = 138

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠A = ∠C

Таким образом,

∘ ∘ ∠C = 138 :2= 69

Ответ: 69

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#43

В треугольнике $ABC$ $∠B = 81∘,$ $∠C = 25∘.$ Найдите внешний угол при вершине $A.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, $∠B + ∠C =$ внешнему углу при вершине $A,$ следовательно

∠A = 81∘ +25∘ =106∘ внеш

Ответ: 106

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#44

В треугольнике $ABC$ $∠C = 35∘,$ внешний угол при вершине $B$ равен $91∘.$ Найдите $∠A.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Согласно теореме о внешнем угле треугольника,

∠C + ∠A = ∠B внеш

Тогда

∘ ∘ 35 + ∠A = 91

Откуда находим

∠A =91∘− 35∘ = 56∘

Ответ: 56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#45

В треугольнике $ABC$ $∠A = 47∘$ и $AB = BC.$ Найдите $∠B.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∘ ∠C = ∠A = 47

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$ имеем

∠B = 180∘ − 47∘− 47∘ = 86∘

Ответ: 86

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#46

В треугольнике $ABC$ $∠B =32∘$ и $AB =BC.$ Найдите внешний угол при вершине $C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда $∠A = ∠ACB.$ Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$

180∘ = 32∘+ ∠A+ ∠C = 32∘+ 2∠A

Откуда

2∠A = 148∘

Тогда

∠A = 74∘

По теореме о внешнем угле треугольника

∠C внеш = ∠A +∠B

Тогда искомый угол равен

32∘ +74∘ = 106∘

Ответ: 106

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#47

В треугольнике $ABC$ $AB =BC,$ внешний угол при вершине $C$ равен $108∘.$ Найдите $∠B.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как градусная мера развёрнутого угла равна $180∘,$

∘ ∘ ∘ ∠ACB = 180 − 108 =72

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∘ ∠A =∠ACB = 72

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$

∠B = 180∘− ∠A − ∠ACB =36∘

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#48

В треугольнике $ABC$ $AB =BC,$ внешний угол при вершине $A$ равен $112∘.$ Найдите $∠B.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как градусная мера развёрнутого угла равна $180∘,$

∘ ∘ ∘ ∠BAC = 180 − 112 =68

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∘ ∠C = ∠BAC = 68

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$

∠B = 180∘− ∠BAC − ∠C =44∘

Ответ: 44

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#49

В треугольнике $ABC$ $AB =BC,$ внешний угол при вершине $B$ равен $104∘.$ Найдите $∠A.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Согласно теореме о внешнем угле треугольника,

∘ ∠A +∠C = 104

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠A = ∠C

Таким образом,

∠A = 104∘ :2 =52∘

Ответ: 52

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#50

Один из углов равнобедренного треугольника равен $92∘.$ Найдите какой-нибудь другой его угол.

$PIC$

Показать ответ и решение

Сумма углов треугольника равна $180∘.$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть $92∘$ — один из углов при основании, тогда сумма углов при основании равна

92∘ +92∘ =184∘ > 180∘

Получили противоречие, значит, $92∘$ — угол при вершине.

Сумма углов при основании равна

180∘− 92∘ = 88∘

Так как углы при основании равны, то оба они по

88∘ :2 = 44∘

Ответ: 44

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1385

В треугольнике $ABC :$ $∠A = 22∘,$ внешний угол при вершине $C$ равен $130∘.$ Найдите $∠B.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Согласно теореме о внешнем угле треугольника,

∠A + ∠B = ∠Cвнеш

Тогда

∘ ∘ 22 + ∠B = 130,

откуда находим

∠B =130∘− 22∘ = 108∘

Ответ: 108

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1386

В треугольнике $ABC$ $∠C = 70∘$ и $AB = BC.$ Найдите $∠B.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∘ ∠A = ∠C = 70

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$

∠B = 180∘ − 70∘− 70∘ = 40∘

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1387

В треугольнике $ABC :$ $∠C = 36∘,$ $AB = BC.$ Найдите $∠B.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∘ ∠A = ∠C = 36

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$ то

∘ ∘ ∘ ∘ ∠B = 180 − 36 − 36 = 108

Ответ: 108

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1388

В треугольнике $ABC :$ $∠B = 38∘,$ $AB = BC.$ Найдите $∠C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠A = ∠C

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$ то

∘ ∘ ∘ 180 = 38 +∠A + ∠C = 38 + 2⋅∠A,

откуда

∘ 2⋅∠A = 142

Тогда

∘ ∠A = 71

Ответ: 71

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1390

В треугольнике $ABC :$ $∠B =50∘,$ $AB =BC.$ Найдите внешний угол при вершине $A.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠BAC =∠C

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$ то

∘ ∘ ∘ 180 = 50 + ∠A + ∠C = 50 +2∠C,

откуда

∘ 2∠C = 130

Тогда

∘ ∠C = 65

По теореме о внешнем угле треугольника

∠A внеш = ∠B + ∠C

Тогда искомый угол равен

50∘+ 65∘ = 115∘

Ответ: 115

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1393

Один из углов равнобедренного треугольника равен $124∘.$ Найдите какой-нибудь другой его угол.

$PIC$

Показать ответ и решение

Сумма углов треугольника равна $180∘.$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть $124∘$ — один из углов при основании, тогда сумма углов при основании равна

∘ ∘ ∘ ∘ 124 + 124 = 248 > 180

Противоречие, значит, $124∘$ — угол при вершине.

Сумма углов при основании равна

∘ ∘ ∘ 180 − 124 = 56

Так как углы при основании равны, то оба они по

∘ ∘ 56 :2= 28

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1395

В треугольнике $ABC$ $∠A = 32∘,$ $∠B = 70∘.$ На продолжении стороны $AC$ за точку $C$ отложен отрезок $CK = BC.$ Найдите $∠K$ треугольника $BCK.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Так как $CK = BC,$ то

∠CBK = ∠K

Согласно теореме о внешнем угле треугольника,

∠BCK =∠A + ∠ABC = 32∘+ 70∘ =102∘

Так как сумма углов в треугольнике равна $180∘,$ то

∠BCK + ∠CBK + ∠K = 180∘

Но $∠CBK = ∠K,$ тогда

102∘+ 2⋅∠K = 180∘

Таким образом, $∠K = 39∘.$

Ответ: 39

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1396

В треугольнике $ABC$ $∠A = 52∘,$ $∠C = 71∘.$ На продолжении стороны $BC$ за точку $B$ отложен отрезок $BD = AB.$ Найдите $∠D$ треугольника $ABD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Так как $AB = BD,$ то

∠BAD = ∠D

Согласно теореме о внешнем угле треугольника,

∠ABD = ∠C + ∠BAC = 71∘+52∘ =123∘

Так как сумма углов в треугольнике равна $180∘,$

∠D + ∠BAD + ∠ABD = 180∘

Но $∠BAD = ∠D,$ тогда

2⋅∠D + ∠ABD = 180∘ ⇒ ∠D = 28,5∘

Ответ: 28,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1398

В треугольнике $ABC$ при вершинах $A,B$ и $C$ построено по одному внешнему углу. Найдите сумму этих внешних углов. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Тогда внешний угол при вершине $A$ в треугольнике $ABC$ равен