Угловой коэффициент и угол наклона прямой —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#247

Прямая, заданная уравнением $y = kx + 77$ , образует с положительным направлением оси $Ox$ угол $α$ . Найдите $k$ , если $tgα = 12$ .

Показать ответ и решение

Для прямой, заданной уравнением $y = kx + b$ , коэффициент $k$ есть значение тангенса угла между прямой $y = kx + b$ и положительным направлением оси $Ox$ .

Так как тангенс угла $α$ между прямой $y = kx + 77$ и положительным направлением оси $Ox$ равен $12$ , то $k = tg α = 12$ .

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#248

Прямая, заданная уравнением $y = kx$ , образует с положительным направлением оси $Ox$ угол $α$ . Найдите $k$ , если $tgα = 0$ .

Показать ответ и решение

Для прямой, заданной уравнением $y = kx + b$ , коэффициент $k$ есть значение тангенса угла между прямой $y = kx + b$ и положительным направлением оси $Ox$ .

Так как тангенс угла $α$ между прямой $y = kx$ и положительным направлением оси $Ox$ равен $0$ , то $k = tg α = 0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1570

Прямая, заданная уравнением $y = x$ , образует с положительным направлением оси $Ox$ угол $α$ . Найдите $tgα$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Для прямой, заданной уравнением $y = kx + b$ , коэффициент $k$ есть значение тангенса угла между прямой $y = kx + b$ и положительным направлением оси $Ox$ .

Так как для прямой $y = x$ коэффициент $k$ равен $1$ , то $tgα = 1$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1571

Прямая, заданная уравнением $y = 2x− 3,$ образует с положительным направлением оси $Ox$ угол $α.$ Найдите $tgα.$

Показать ответ и решение

Для прямой, заданной уравнением $y = kx +b,$ коэффициент $k$ есть значение тангенса угла между прямой $y = kx+ b$ и положительным направлением оси $Ox.$

$PIC$

Так как для прямой $y =2x − 3$ коэффициент $k$ равен 2, то

tg α= 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1572

Прямая, заданная уравнением $y = − x + 2$ , образует с положительным направлением оси $Ox$ угол $α$ . Найдите $tgα$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Для прямой, заданной уравнением $y = kx + b$ , коэффициент $k$ есть значение тангенса угла между прямой $y = kx + b$ и положительным направлением оси $Ox$ .

Так как для прямой $y = − x + 2$ коэффициент $k$ равен $− 1$ , то $tgα = − 1$ .

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#250

Прямая $y =kx − 2016$ образует угол $45∘$ с положительным направлением оси $Ox.$ Найдите $k.$

Показать ответ и решение

Для прямой, заданной уравнением $y = kx +b,$ коэффициент $k$ есть значение тангенса угла между прямой $y = kx+ b$ и положительным направлением оси $Ox.$

$PIC$

Так как угол между прямой $y = kx− 2016$ и положительным направлением оси $Ox$ равен $π, 4$ то

π- k = tg4 = 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#251

Прямая $y = kx + 0, 1$ образует угол $α$ с положительным направлением оси $Ox$ , при этом, $√2-- cosα = 5$ . Найдите $k$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Для прямой, заданной уравнением $y = kx + b$ , коэффициент $k$ есть значение тангенса угла между прямой $y = kx + b$ и положительным направлением оси $Ox$ .

Таким образом, $k = tgα$ , при том, что $cosα = √2-- 5$ и $0 ≤ α < π$ . Из основного тригонометрического тождества (для всякого $α$ выполнено $sin2 α + cos2α = 1$ ) получаем, что $2 1 sin α = -- 5$ , тогда $1 sinα = ± √--- 5$ , но с учётом $0 ≤ α < π$ заключаем, что $1 sinα = √--- 5$ , тогда $k = tg α = sinα- = √1--: √2--= 0,5 cos α 5 5$ .

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#252

Прямая $√ -- y = kx − 0,5 ⋅ 2$ образует угол $α$ с отрицательным направлением оси $Ox$ , при этом, $√4--- cosα = 17$ . Найдите $k$ .

Показать ответ и решение

Для прямой, заданной уравнением $y = kx + b$ , коэффициент $k$ есть значение тангенса угла между прямой $y = kx + b$ и положительным направлением оси $Ox$ .

Из основного тригонометрического тождества находим, что $-1--- sin α = ± √ --- 17$ , но с учётом $0 ≤ α < π$ получаем, что $1 sin α = √---- 17$ .

Так как прямая $√ -- y = kx − 0,5 ⋅ 2$ образует угол $α$ с отрицательным направлением оси $Ox$ , то её угол с положительным направлением оси $Ox$ равен $π − α$ и с учётом тождеств $sin (π − α) = sin α, cos(π − α ) = − cosα$ получим $( ) sin(π-−-α-)- --sin-α- -1--- -4--- k = tg(π − α) = cos(π − α) = − cosα = √ ---: − √ --- = − 0,25 17 17$ .

Ответ: -0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#254

Прямые $y = kx − 3$ и $y = x − 7 π$ образуют с положительным направлением оси $Ox$ углы $α$ и $β$ соответственно, при этом, $√2--- cosα = 13$ . Найдите наибольшее из чисел $k$ и $tgβ$ .

Показать ответ и решение

Для прямой, заданной уравнением $y = kx + b$ , коэффициент $k$ есть значение тангенса угла между прямой $y = kx + b$ и положительным направлением оси $Ox$ .

Таким образом, $tg β = 1$ , $sinα- k = tgα = cosα$ . Из основного тригонометрического тождества находим, что $3 sin α = ± √---- 13$ , но с учётом $0 ≤ α < π$ получаем, что $3 sinα = √---- 13$ .

В итоге $sin-α- -3--- --2-- k = cosα = √ ---:√ ---= 1,5 13 13$ , а $tgβ = 1 < 1,5 = k$ , то есть большее из чисел $k$ и $tgβ$ равно $1,5$ .

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#255

Найдите угол $α$ между прямой $1 √ --- y = √--x − 6 64 3$ и положительным направлением оси $Ox$ . Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Для прямой, заданной уравнением $y = kx + b$ , коэффициент $k$ есть значение тангенса угла между прямой $y = kx + b$ и положительным направлением оси $Ox$ .

Таким образом, $-1-- tgα = √ -- 3$ . Так как градусная мера угла между двумя прямыми лежит в полуинтервале $[0;180∘)$ , а $tgα = √1--> 0 3$ , то $0 < α < π- 2$ , следовательно, $( ) α = arctg 1√--- = π- 3 6$ . В итоге $α = 30∘$ .

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#256

Точки $A$ и $B$ лежат на прямой $l$ . При этом точка $A$ имеет координаты $(1;1)$ , а точка $B$ имеет координаты $(3;2)$ . Найдите тангенс угла $α$ между этой прямой и положительным направлением оси $OX$ .

Показать ответ и решение

Достроим треугольник $ABC$ так, что $AC ∥ Ox$ , $BC ∥ Oy$ (тогда $∠C = 90∘$ )

$PIC$

$tg α = BC-- AC$ .

Длина отрезка $AC$ равна модулю разности первых координат точек $A$ и $B$ , тогда $AC = 3 − 1 = 2$ .

Длина отрезка $BC$ равна модулю разности вторых координат точек $A$ и $B$ , тогда $BC = 2 − 1 = 1$ . В итоге $BC-- tgα = AC = 0,5$ .

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1574

Прямая $y = kx + 6$ образует угол $π -- 4$ радиан с отрицательным направлением оси $Ox$ . Найдите $k$ .

Показать ответ и решение

$PIC$

Для прямой, заданной уравнением $y = kx + b$ , коэффициент $k$ есть значение тангенса угла между прямой $y = kx + b$ и положительным направлением оси $Ox$ .

Так как угол между прямой $y = kx + 6$ и отрицательным направлением оси $Ox$ равен $π- 4$ радиан, то угол между прямой $y = kx + 6$ и положительным направлением оси $Ox$ равен $π − π- = 3π- 4 4$ радиан, тогда $k = tg3π-= − 1 4$ .

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1575

Найдите угол $α$ между прямой $√ -- √ -- y = 3x + 3 3$ и положительным направлением оси $Ox$ . Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Для прямой, заданной уравнением $y = kx + b$ , коэффициент $k$ есть значение тангенса угла между прямой $y = kx + b$ и положительным направлением оси $Ox$ .

Таким образом, $√ -- tgα = 3$ . Так как градусная мера угла между двумя прямыми лежит в полуинтервале $[0;180∘)$ , а $√ -- tg α = 3 > 0$ , то $π 0 < α < -- 2$ , следовательно, $√-- π α = arctg( 3 ) = -- 3$ . В итоге $α = 60∘$ .

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2694

Прямая, заданная уравнением $y = kx + 0,2$ , образует с положительным направлением оси $Ox$ угол $α$ . Найдите $k$ , если $tgα = − 3,3$ .

Показать ответ и решение

Для прямой, заданной уравнением $y = kx + b$ , коэффициент $k$ есть значение тангенса угла между прямой $y = kx + b$ и положительным направлением оси $Ox$ .

Так как тангенс угла $α$ между прямой $y = kx + 0,2$ и положительным направлением оси $Ox$ равен $− 3,3$ , то $k = tgα = − 3,3$ .

Ответ: -3,3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#249

Прямая $y = 21x − 6$ образует угол $α$ с положительным направлением оси $Ox$ , а прямая $y = − 3x$ образует угол $β$ с положительным направлением оси $Ox$ . Найдите $tgα ⋅ ctg β$ .

Показать ответ и решение

Для прямой, заданной уравнением $y = kx + b$ , коэффициент $k$ есть значение тангенса угла между прямой $y = kx + b$ и положительным направлением оси $Ox$ .

Таким образом, $tg α = 21$ , а $tgβ = − 3$ . Так как $tgβ ⁄= 0$ , то $-1-- ctg β = tgβ$ , откуда $1- ctgβ = − 3$ . Итого: $( 1) tgα ⋅ ctgβ = 21 ⋅ − -- = − 7 3$ .

Ответ: -7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#253

Прямые $√-- y = k1x − 2$ и $√ -- y = k2x + π 2$ образуют с положительным направлением оси $Ox$ углы $α$ и $β$ соответственно, при этом, $k2 = − k1$ , $√-3-- sinα = 10$ . Найдите наибольший из коэффициентов $k1$ и $k2$ .

Показать ответ и решение

Для прямой, заданной уравнением $y = kx + b$ , коэффициент $k$ есть значение тангенса угла между прямой $y = kx + b$ и положительным направлением оси $Ox$ .

Таким образом, $-sin-α k1 = tgα = cos α$ , при том, что $--3-- sin α = √ --- 10$ и $0 ≤ α < π$ . Из основного тригонометрического тождества (для всякого $α$ выполнено $2 2 sin α + cos α = 1$ ) получаем, что $cos2α = 1-- 10$ , тогда $cosα = ± √-1-- 10$ , откуда либо $k = √-3--: √1---= 3 1 10 10$ , либо $( ) k = √3---: − √1--- = − 3 1 10 10$ .

При условии $k2 = − k1$ наибольший из коэффициентов $k1$ и $k2$ равен $|k1|$ . При $k1 = 3$ и при $k1 = − 3$ получаем $|k1| = 3$ , тогда наибольший из коэффициентов $k1$ и $k2$ равен $3$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1573

Прямая, заданная уравнением $y = 3x + 2$ , касается графика некоторой функции $f(x)$ в точке $(x0;f (x0))$ , а прямая $y = 6x + 4$ касается графика этой же функции в точке $(x1;f (x1 ))$ .

Найдите сумму тангенсов углов наклона касательных к графику функции $f(x )$ в точках $(x0;f (x0 ))$ и $(x1;f (x1 ))$ , где угол наклона прямой считается углом между прямой и положительным направлением $Ox$ .

Показать ответ и решение

Для прямой, заданной уравнением $y = kx + b$ , коэффициент $k$ есть значение тангенса угла между прямой $y = kx + b$ и положительным направлением оси $Ox$ .

Таким образом, для прямой $y = 3x + 2$ искомый тангенс угла наклона равен $3$ , а для прямой $y = 6x + 4$ искомый тангенс угла наклона равен $6$ . Итого: сумма тангенсов углов наклона касательных к графику функции $f(x)$ в точках $(x0;f(x0))$ и $(x1;f (x1))$ равна $9$ .

Ответ: 9

8.02 Угловой коэффициент и угол наклона прямой