13.04 Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению

ОДЗ: – произвольное. Решим на ОДЗ:

а) Данное уравнение является уравнением третьей степени относительно . Сделаем замену

В новых переменных уравнение примет вид:

Можно угадать один из корней этого уравнения . Знание этого корня позволяет вынести за скобку выражение при помощи деления многочлена на столбиком:

Для дальнейшего разложения на множители необходимо найти корни квадратного уравнения

По теореме Виета сумма его корней равна , а их произведение равно , откуда подбираются корни .

Таким образом,

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, следовательно, корнями уравнения

являются .

 

Возвращаясь к старым переменным, находим, что корнями исходного уравнения являются те , при которых выполнено по крайней мере одно из условий: или , или , или .

Так как , то у уравнений и нет корней, тогда

Решения этого уравнения имеют вид , где .

 

б)

но , тогда подходят только корни при и : , .