Тема 13. Решение уравнений

13.04 Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71784

а) Решите уравнение $11cos2x = 7sin(x− π2)− 9.$

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[− π;0].$

Показать ответ и решение

По формуле синуса разности:

sin(x− π) = sinxcos π-− cosx sin π-= − cosx. 2 2 2

По формуле косинуса двойного аргумента:

2 cos2x= 2cos x− 1.

Подставим обе формулы в исходное уравнение:

2 11 ⋅(2cos x− 1)= −7 cosx − 9,

22cos2x− 11+ 7cosx + 9= 0.

22cos2 x+ 7cosx− 2= 0.

Сделаем замену $t =cosx$ :

2 22t + 7t− 2 = 0,

2 D = 49+ 176 = 225 = 15 ,

$⌊ −7 +15 2 |t1 =--44---= 11, ⌈ −7−-15- 1 t2 = 44 =− 2.$

Обратная замена:

$⌊ |cosx= -2, ⌈ 111 cosx = −2.$

$⌊ | x= arccos-2+ 2πk,k ∈ ℤ, || 11 ||x= − arccos 2-+ 2πk,k ∈ ℤ, || 11 || x= 2π-+ 2πk,k ∈ℤ, ||⌈ 3 x = − 2π +2πk,k ∈ ℤ. 3$

б) Отбрем корни при помощи единичной окружности:

$PIC$

Минимальные вычисления для корней, принадлежащих отрезку:

$x1 = − 2π+ 2π⋅0= − 2π. 3 3$

$2 2 x2 = − arccos-+ 2π⋅0= − arccos--. 11 11$

Ответ:

а) $x = 2π+ 2πk, 3$ $x = − 2π +2πk, 3$ $x = arccos 2-+ 2πk, 11$
$x = − arccos-2 +2πk, 11$ $k$ — целое.

б) $2π x =− --, 3$ $2 x = − arccos-. 11$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

13.04 Тригонометрические: сведение к квадратному или кубическому уравнению

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ