.00 №14 из ЕГЭ 2020
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная треугольная пирамида 
— середина 
— середина 
а) Докажите, что проекции отрезков 
и 
на плоскость 
равны.
б) Найдите объем пирамиды 
если 
Источники:
а) Пирамида правильная, следовательно, проекция 
точки 
на плоскость 
является центром правильного
треугольника 
. Точка 
— середина отрезка 
, следовательно, ее проекцией на плоскость 
будет середина 
отрезка 
так как 
— проекция точки 
Точка 
является точкой пересечения медиан треугольника 
, 
— медиана треугольника 
Точка
пересечения медиан делит их в отношении 
считая от вершины, следовательно, 
При этом 
— середина
значит, точки 
и 
делят медиану на три равные части и 
Также 
как радиусы
описанной окружности правильного треугольника 
Получили, что 
причем 
—
проекция 
на плоскость 
а 
— проекция 
на плоскость 
Это равенство и требовалось
доказать.
б) Обозначим через 
угол 
. Тогда из прямоугольного треугольника 
Запишем теорему косинусов для угла 
треугольника 
Подставим 
и решим полученное уравнение, чтобы найти
Угол 
острый, следовательно, его косинус равен 
и 
Треугольник 
прямоугольный с
так как 
— биссектриса и высота, тогда
Тогда сторона правильного треугольника 
равна 6.
Так как 
то по теореме Пифагора для треугольника 
высота 
пирамиды равна
Осталось найти объем пирамиды:
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
