.00 №14 из ЕГЭ 2020
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырёхугольной пирамиде 
сторона основания 
равна 4, а боковое ребро 
равно 7. На рёбрах
и 
отмечены точки 
и 
соответственно, причём 
Плоскость 
содержит прямую
и параллельна прямой 
а) Докажите, что плоскость 
параллельна прямой 
б) Найдите угол между плоскостями 
и 
Источники:
а) Плоскость 
параллельна 
по условию, следовательно, прямая пересечения плоскостей 
и 
должна быть
параллельна 
Точка 
и 
следовательно, точка 
пересечения 
и прямой 
должна быть такой, что
В правильной пирамиде 
и плоскость 
по условию, следовательно, прямая пересечения плоскостей 
и 
должна быть параллельна 
и 
Точка 
и 
следовательно, точка 
пересечения 
и прямой 
должна быть такой, что
Получили сечение 
пирамиды плоскостью 
Так как 
то по теореме о пропорциональных отрезках
Так как 
то по теореме о пропорциональных отрезках
Тогда получили, что
Cледовательно, по обратной теореме о пропорциональных отрезках 
Так как 
лежит в плоскости 
и 
то 
что и требовалось доказать.
б) Из предыдущего пункта явно следует, что 
поэтому будем искать угол между плоскостями 
и 
плоскость 
нам больше не понадобится.
В правильной пирамиде 
. Проведем высоты 
и 
в равнобедренных треугольниках 
и
соответственно. Они также будут являться медианами, следовательно, 
— середина 
— середина 
и
отрезок 
параллелен и равен 
как средняя линия квадрата. Тогда 
и 
следовательно,
Рассмотрим три плоскости: 
и 
Прямые 
и 
пересечения двух пар из них параллельны,
следовательно, прямая 
пересечения 
и 
параллельна 
и 
Этот факт будет доказан в конце решения в
виде леммы.
Так как 
то 
и 
Тогда искомый угол между плоскостями 
и
равен углу 
Далее мы покажем, что 
— острый.
По теореме Пифагора для треугольника 
Так как пирамида правильная и треугольники 
и 
равны, то 
Так как 
то по
теореме косинусов для угла 
треугольника 
Так как 
то угол 
— острый и действительно является искомым углом между плоскостями.
Лемма
Если три плоскости попарно пересекаются, то прямые их пересечения либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.
Доказательство
Пусть плоскости 
и 
пересекаются по прямой 
Рассмотрим третью плоскость 
Возможны два случая:
Докажем, что прямые 
и 
параллельны прямой 
Допустим противное, пусть, не
умаляя общности, 
не параллельна 
Прямые 
и 
лежат в одной плоскости 
и не параллельны,
следовательно 
и 
пересекаются. При этом 
лежит в плоскости 
значит, и 
пересекается с 
Получили
противоречие с 
Если они не параллельны, значит, имеют точку пересечения. Обозначим эту точку 
Она
принадлежит всем трем плоскостям. Каждая пара плоскостей пересекается по прямой, значит, 
принадлежит
всем трем прямым.
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
