.00 №14 из ЕГЭ 2020
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная треугольная призма 
в которой сторона основания 
боковое ребро 
Пусть
— точка пересечения диагоналей грани 
точки 
и 
— середины ребер 
и 
соответственно.
a) Докажите, что точки 
и 
лежат в одной плоскости.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью 
Источники:
а) Рассмотрим сечение призмы плоскостью 
В плоскости 
проведем прямую 
до пересечения с прямой 
в точке 
Заметим, что
так как 
как вертикальные и 
как
накрест лежащие, образованные параллельными прямыми 
и 
и секущей 
Тогда 
—
параллелограмм.
Аналогично в плоскости 
проведем прямую 
до пересечения с прямой 
в точке 
и получим, что
— параллелограмм.
Заметим, что 
и прямые 
и 
параллельны, значит, в плоскости 
четырехугольник 
является параллелограммом. Следовательно, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, то
есть середина отрезка 
точка 
является серединой отрезка 
который лежит в плоскости 
Значит, точки
, 
, 
и 
лежат в одной плоскости.
б) Пусть прямая 
пересекает ребра 
и 
в точках 
и 
соответственно. Тогда пятиугольник 
—
сечение призмы плоскостью 
Рассмотрим плоскость 
В ней для треугольника 
и его секущей 
по теореме Менелая
выполнено:
Тогда, так как 
то 
и 
Рассмотрим треугольник 
В нем 
значит, по
теореме Пифагора
Аналогично рассмотрим треугольники 
и 
и получим, что 
и 
Заметим, что 
и 
Значит, по теореме о пропорциональных отрезках
Пусть точки 
и 
— середины отрезков 
и 
соответственно. Тогда точки 
и 
— середины отрезков 
и 
соответственно. Рассмотрим треугольник 
В нем 
— средняя линия, значит, 
и 
Аналогично
— средняя линия в треугольнике 
значит, 
и 
Заметим, что 
значит, 
Аналогично 
Отрезки 
и 
— медианы в
равносторонних треугольниках со стороной 
значит,
Площадь искомого сечения равна
Так как 
то площадь треугольника 
равна
Тогда площадь пятиугольника 
равна
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
