.00 №14 из ЕГЭ 2021

а) Поскольку — квадрат, то Тогда так как прямая лежит в плоскости то прямая параллельна плоскости Значит, прямая, по которой пересекаются плоскости и должна быть параллельна прямой то есть

Рассмотрим треугольник В нем прямая параллельна так как и и проходит через середину стороны значит, является средней линией треугольника Средняя линия, параллельная стороне делит любой отрезок, проведенный из точки к стороне пополам, в частности, медиану

б) Заметим, что так как Тогда расстояние от точки до равно расстоянию от любой точки прямой до плоскости

Пусть — середина Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью им является треугольник Заметим, что так как — средняя линия квадрата и что так как — медиана равнобедренного треугольника с основанием Значит,

Пусть пересекается с в точке Тогда найдем расстояние от точки до плоскости Так как точка лежит на прямой то лежит и в плоскости Опустим в этой плоскости из точки перпендикуляр на Тогда

С другой стороны, так как лежит в плоскости а Значит, Тогда — искомое расстояние.

Найдем Рассмотрим треугольник Он равнобедренный, так как апофемы правильной пирамиды и равны. Его основание так как — средняя линия квадрата а высота является и медианой, то есть Тогда по теореме Пифагора в треугольниках и

Так как — перпендикуляр, опущенный из середины стороны на сторону то он в два раза меньше перпендикуляра, опущенного из точки на сторону то есть высоты треугольника Найдем высоту треугольника посчитав его площадь двумя способами:

Тогда искомое расстояние равно