.00 №14 из ЕГЭ 2020
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная треугольная пирамида 
в которой 
точка 
лежит на ребре 
так, что 
Точка
делит сторону 
так, что 
Ребро 
Точки 
и 
принадлежат плоскости 
которая
перпендикулярна плоскости 
а) Докажите, что точка 
принадлежит плоскости 
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью 
Источники:
а) Если докажем, что плоскость 
перпендикулярна плоскости 
, то мы докажем пункт а) задачи, так как
плоскость, проходящая через точки 
и 
и перпендикулярная 
единственна.
Пусть 
— середина 
, 
— середина 
, 
— основание высоты пирамиды. Так как в правильной
пирамиде основанием высоты является точка пересечения медиан треугольника 
, то выполнено соотношение
Пусть 
— точка пересечения 
и 
. Тогда в плоскости 
по теореме Менелая для треугольника 
и
секущей 
:
Рассмотрим плоскость 
. В ней по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, 
, так как
, значит, 
. Тогда плоскость 
содержит прямую, перпендикулярную
плоскости 
, то есть 
.
б) Заметим, что 
— высота треугольника 
, проведенная к стороне 
, так как 
.
Тогда
Так как 
и 
, то треугольники 
и 
подобны с коэффициентом 
. Значит,
. По теореме Пифагора для треугольника 
Тогда 
Рассмотрим треугольник 
. По теореме косинусов имеем:
Тогда
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
