.00 №14 из ЕГЭ 2020
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной треугольной призме 
сторона 
основания равна 8,
а боковое ребро 
равно 7. На ребре 
отмечена точка 
причем
а) Точки 
и 
— центры окружностей, описанных около треугольников
и 
соответственно. Докажите, что прямая 
содержит точку
пересечения медиан треугольника 
б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости 
Источники:
а) Пусть точка 
— середина 
а 
— точка пересечения медиан
треугольника 
Тогда 
Заметим, что точка 
является точкой пересечения медиан правильного треугольника 
тогда
Рассмотрим плоскость 
В ней по теореме, обратной теореме о
пропорциональных отрезках, 
так как 
В
правильной призме 
значит, 
то есть 
б) Пусть 
— середина 
Прямые 
и 
параллельны, значит,
Тогда расстояние от точки 
до плоскости 
равно
расстоянию от точки 
до плоскости 
В плоскости 
опустим перпендикуляр 
на прямую 
Докажем, что 
— искомое расстояние. C другой стороны, 
так
как 
и 
Значит, прямая 
перпендикулярна любой
прямой, лежащей в плоскости 
в частности, 
Тогда 
так как 
и 
по построению.
Значит, 
— искомое расстояние.
— медиана равностороннего треугольника 
со стороной 
значит,
Тогда по теореме Пифагора для треугольника 
Заметим, что в плоскости 
прямые 
и 
параллельны. Тогда
накрест лежащие углы 
и 
равны. Рассмотрим прямоугольные
треугольники 
и 
У них равны острые углы 
и 
Гипотенуза треугольника 
равна 
гипотенуза треугольника
тоже равна 
Тогда 
по катету и
гипотенузе. В равны треугольниках соответственные элементы равны, значит,
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
