.00 №14 из ЕГЭ 2023
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан тетраэдр 
На ребре 
выбрана точка 
так, что 
Также на ребрах 
и 
выбраны точки 
и 
соответственно
так, что 
— квадрат со стороной 2.
a) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости 
если известно, что
объем тетраэдра 
равен 25.
Источники:
а) Так как 
— квадрат, то 
Докажем, что 
Аналогично будет доказываться, что 
Рассмотрим плоскости 
и 
Их линии пересечения
и 
либо параллельны друг другу, либо пересекаются в одной
точке. Так как две из трех линий 
и 
друг другу параллельны, то и
третья линия 
им параллельна. Следовательно, 
Значит и 
Тогда по теореме Фалеса
Что и требовалось доказать.
б) По условию 
— квадрат, поэтому 
В пункте а) мы
доказали, что 
Значит, 
В плоскости 
проведем перпендикуляр 
к 
Рассмотрим
плоскость 
Прямая 
лежит в ней, при этом 
Также
прямая 
лежит в 
при этом 
Значит, 
Тогда
В плоскости 
проведем 
Тогда
Значит,
Рассмотрим треугольники 
и 
Они подобны, так как имеют общий
угол 
и 
Тогда
Рассмотрим треугольники 
и 
Они подобны, так как имеют общий
угол 
и 
Тогда
Значит,
Прямая 
параллельна плоскости 
следовательно, расстояние от
точки 
до 
равно расстоянию от прямой 
до 
Заметим, что 
так как лежит в плоскости 
а значит
Также 
по построению, а значит 
Таким
образом, 
Тогда если 
— точка пересечения 
и 
то
расстояние от 
до 
равно 
Пусть в плоскости 
точка 
— это точка пересечения прямых 
и
в плоскости 
точка 
— это точка пересечения прямых
и 
Тогда 
— это точка пересечения 
и 
в плоскости
Прямые 
так как 
Значит,
Таким образом, расстояние от точки 
до плоскости 
равно
5,4.
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
