.00 №14 из ЕГЭ 2023

а) Так как боковые ребра пирамиды равны, то основание высоты пирамиды из точки является центром описанной около окружности. Следовательно, четырехугольник — вписанный.

Пусть Так как равнобедренный то и Так как вписанный, то во-первых а во-вторых как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу Отсюда так как равнобедренный.

Следовательно, Таким образом, следовательно, С учетом получаем, что — трапеция, а так как то это равнобедренная трапеция.

Пусть — точка пересечения прямых и Так как и то — средняя линия Следовательно, откуда равносторонний, следовательно, Тогда если — середина то — равнобедренные с углом следовательно, это равносторонние треугольники, и Значит, точка равноудалена от всех вершин трапеции следовательно, — центр описанной около окружности. А так как выше мы сказали, что основание высоты пирамиды опущенной из вершины — центр описанной около основания окружности, то и есть основание этой высоты. Что и требовалось доказать.

б) Пусть прямая пересекает в точке Тогда По теореме Менелая для и прямой получаем

Отсюда можно принять тогда и

Следовательно, плоскость пересекает плоскость по прямой Пусть эта прямая пересекает прямую в точке Тогда по теореме Менелая для и прямой получаем

Следовательно, тогда откуда Следовательно,

Так как то плоскость пересекает плоскость по прямой Пусть Тогда — искомое отношение. По теореме Менелая для и прямой получаем